CCINP Maths 2 MP 2015

SESSION 2015 MPMA206

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

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EXERCICE I. INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif 
àla rédaction et notam-
rnentàlîndenüûkn1ducode.

Voici, par exemple, un code Python attendu si l'on demande d'écrire une 
fonction nommée maxi qui
calcule le plus grand élément d'un tableau d'entiers :

def maxi(t):

"""Données: t un tableau d'entiers non vide

Résultat: le maximum des éléments de t"""
n =len(t) # la longueur du tableau t
maximum = t[O]
for k in range(l,n)z

if t[k] > maximum:
maximum = t[k]

return maximum

LHnünmüm1maxi([4,5,6,2])rmnoenaaknsô
1.1. Donner la décomposition binaire (en base 2) de l'entier 21.

On considère la fonction mystere suivante:

def mystere(n, b):

"""Données: n > 0 un entier et b > 0 un entier
Résultat: ....... """

t = [] # tableau vide

while n > O:
c = n % b
t.append(c)
n = n // b

return t

On rappelle que la méthode append rajoute un élément en fin de liste. Si l'on 
choisit par exemple
t = [4, 5, 6] , alors, après avoirexécuté t . append(12) , laliste t 
apourvaleur [4, 5, 6, 12].

Pour k EURN*, on note ck, tk et nk les valeurs prises par les variables c, t et 
n a la sortie de la k-ème
itération de la boucle "while".

2/7

1.2. Quelle valeur est renvoyée lorsque l'on exécute mystere (2 5 6 , 1 O ) '?

On recopiera et complétera le tableau suivant, en ajoutant les éventuelles 
colonnes nécessaires pour
tracer entiérement l'exécution.

ck

"k

1.3. Soit n > 0 un entier. On exécute mystere (n, 1 O) . On pose no = n.

1.3.a. Justifier la terminaison de la boucle whi le.

 xkpxe"9x ou [c EUR{0,1,2}, p EUR ]O,+oo[ et 9 EUR 
]O,27'C].
(Rappel: pour p EUR ]O,+oo[, px = exmp.)
III.6.

III.6.a. Déterminer un élément f de F vérifiant pour tout entier naturel n, f 
(n) = a(-- 3)" + /3 1122",
si a et /3 sont deux constantes complexes.

III.6.b. Si f est un élément de F et si 160 est un réel, expliquer pourquoi x 
+--> f (x + x0) est encore
un élément de F .

III.7 .

III.7.a. Soit 9 un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes (n2(%)n 
e...") converge
vers 0.

III.7.b. SOlt k1EUR{0,1,2}, 'O1EUR]O,+OO[, 91EUR]0,27Ï], [Cz E {0,1,2}, 'O2 EUR 
]O,+OÔ[ fit 92 EUR ]O,27Ï],
@@ 92.

Démontrer que si a et /3 sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout 
entier naturel n,
ankl(p1)n ei91n +/3 nk2 (p2)n ei92"=0, alors & =/3 = 0.
On pourra, par exemple, supposer p1 S p2 et commencer par examiner les cas p1 < p2 et p1 = p2. III.7.c. On admet alors que si f est un élément de F vérifiant pour tout entier naturel n, f (n) = 0, alors f est l'application nulle. Que peut-on dire de deux applications f et g de F vérifiant pour tout entier naturel n, f (n) = g(n) '? 6/7 III.8. Dans la suite de cette partie, A est une matrice inversible de J/Q(R). Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications oe...-- éléments de F telles que, pour tout entier naturel n, A" =(oe,-- j(n)) . ' 151",ng Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice A. On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire. III.9. On pose pour tout réel t, la matrice ï(t) = (co...--(t)) 1<_ _<3 EJ/lg(C). _z,]_ III.9.a. Quelles sont les matrices ï(O) et ï(1) '? III.9.b. Justifier que, pour tout couple d'entiers naturels (mm), on a la relation: ï(n+m) = T(H)ï(ml-- 3 III.9.c. Pour x réel et m entier naturel, on pose f(x)= oei,j(x+m) et g(x)=îoei,k(x)oem(m). k=1 Démontrer que l'on a f = g et en déduire, pour tout entier naturel m, la relation ï(JC + m) = ï(x)ï(m). III.9.d. En déduire que, pour tout couple (x, y) de réels, ï(JC + y) = ï(X)ï( y). III.10. Démontrer que T(-- 1) = A_1 et que, pour tout entier naturel 19 non nul, (ï(%))p = A. 111.11. Justifier que l'application ï définie pour tout réel t par ï( t) = (co...--(t)) 1<_ _<3 est dérivable _z,]_ sur R et que la fonction y est une solution de l'équation différentielle u'(t) = ï/(O)u(t) vérifiant u(O) = 13 où la fonction inconnue u vérifie, pour tout réel t, u(t) EUR J/lg(C). Trouver la solution sur R de l'équation différentielle u' ( t) = ')f/(O) u( t) vérifiant u(O) = 13 et en déduire que l'on a: exp(y'(0)) =A. Troisième partie: exemple 3 O 1 Soit la matrice A = 1 -- 1 -- 2 -- 1 O 1 111.12. Donner le polynôme caractéristique de la matrice A. La matrice A est-elle diagonalisable '? III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants: III.13.a. La matrice A_1. III.13.b. Une matrice B de =//l3(CC) vérifiant B2 =A. III.13.C. Une matrice M de =//l3(CC) vérifiant exp(M ) =A. Fin de l'énoncé 7/7