CCINP Maths 2 MP 2016

SESSION 2016

MPMA206

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
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MATHEMATIQUES 2
Jeudi 5 mai : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
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EXERCICE I :

INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à 
la rédaction et notamment à l'indentation du code. Cet exercice étudie deux 
algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus
grand commun diviseur) de deux entiers naturels.
I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les 
entiers 1,2,3, · · · ,512,513
puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513. Il 
sera alors bien le plus grand
des diviseurs communs à 3705 et 513. Écrire une fonction gcd qui renvoie le 
pgcd de deux entiers
naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement 
utiliser librement
l'instruction min(a,b) qui calcule le minimum de a et b. Par exemple gcd(3705, 
513) renverra
57.
I.2. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une 
fonction Python nommée
euclide qui implémente l'algorithme d'Euclide.
def euclide(a,b):
"""Donn\'ees: a et b deux entiers naturels
R\'esultat: le pgcd de a et b, calcul\'e par l'algorithme d'Euclide"""
u = a
v = b
while v != 0:
r = u % v
u = v
v = r
return u

Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers 
naturels selon
l'algorithme d'Euclide.
I.3. On note (Fn )nN la suite des nombres de Fibonacci définie par :
F0 = 0, F1 = 1, n  N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l'on 
calcule le pgcd de
F6 = 8 et F5 = 5 avec la fonction euclide.
I.3.b. Soit n  2 un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de 
Fn+2 par Fn+1 ? On pourra
utiliser librement que la suite (Fn )nN est strictement croissante à partir de 
n = 2. En déduire, sans
démonstration, le nombre un de divisions euclidiennes effectuées lorsque l'on 
calcule le pgcd de Fn+2
et Fn+1 avec la fonction euclide .
I.3.c. Comparer pour n au voisinage de +, ce nombre un , avec le nombre vn de 
divisions euclidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de Fn+2 et Fn+1
gcd. On pourra utiliser
 par la fonction
n
librement que Fn est équivalent, au voisinage de +, à  / 5 où  = (1 + 5)/2 est 
le nombre d'or.
I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel n et 
renvoie le nombre de
Fibonacci Fn . Par exemple, fibo(6) renverra 8.
I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui 
renvoie le pgcd de trois
entiers naturels. Par exemple, gcd_trois(18, 30, 12) renverra 6.
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EXERCICE II
Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn (K) l'algèbre des matrices 
carrées d'ordre n à coefficients dans le corps K.
Dans cet exercice, A est une matrice de Mn (R) telle que A3 + A2 + A = 0.
II.1. Démontrer que les valeurs propres complexes de A prennent au maximum 
trois valeurs distinctes que l'on précisera.
II.2. Justifier que A est diagonalisable dans Mn (C).
II.3. Démontrer que si A est inversible alors det(A) = 1.

PROBLÈME III
Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La deuxième partie 
étudie un exemple
d'interpolation de Hermite et la troisième partie quelques propriétés d'une 
famille de polynômes qui
portent le nom de ce même mathématicien.
On note R [X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier 
naturel n, Rn [X] le
sous-espace vectoriel de R [X] constitué des polynômes de degré inférieur ou 
égal à n. On note R (X)
le corps des fractions rationnelles à coefficients réels.
Pour tout polynôme P  R [X], on note P le polynôme dérivé de P et, pour tout 
entier naturel n, on
note P(n) le n-ième polynôme dérivé de P. Pour tout entier naturel non nul n, 
on note Mn (R) l'algèbre
des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.

Première partie : questions préliminaires
Soit n un entier naturel non nul.
III.1. Soit P et Q deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
III.1.a. Démontrer que si P et Q n'ont aucune racine complexe commune, alors P 
et Q sont
premiers entre eux (on pourra raisonner par l'absurde).
III.1.b. On suppose que P et Q sont premiers entre eux. En utilisant le 
théorème de Gauss, démontrer que si P et Q divisent un troisième polynôme R à 
coefficients complexes, alors il en est de
même du polynôme PQ.
III.2. Soit (Pi )1in une famille de polynômes non nuls de R [X]. On considère 
le polynôme
n
P
P  R [X] et la fraction rationnelle Q  R (X) définis par P =  Pi et Q = .
P
i=1
n

Pi
Démontrer par récurrence que Q =  .
i=1 Pi
3/5

Deuxième partie : interpolation de Hermite
Soit I un intervalle non vide de R, p un entier naturel non nul, (xi )1ip une 
famille d'éléments de I
distincts deux à deux et (ai )1ip et (bi )1ip deux familles de réels 
quelconques.
III.3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite
III.3.a. Soit P  R [X] et a  R. En utilisant la formule de Taylor, démontrer 
que :
si P(a) = P (a) = 0 alors (X - a)2 divise P.
III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que 
l'application  de R2p-1 [X] vers
définie par

(P) = P(x1 ),P(x2 ), . . . ,P(x p ),P (x1 ),P (x2 ), . . . ,P (x p )

R2p

est une application linéaire bijective de R2p-1 [X] sur R2p .

III.3.c. Démontrer qu'il existe un unique polynôme PH  R2p-1 [X] tel que, pour 
tout entier i
vérifiant 1  i  p, on a PH (xi ) = ai et PH (xi ) = bi .
Le polynôme PH est appelé polynôme d'interpolation de Hermite.
III.4. Étude d'un exemple
Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite (défini à la question III.3) 
lorsque p = 2, x1 = -1,
x2 = 1, a1 = 1, a2 = 0, b1 = -1 et b2 = 2 (si, au cours de ses calculs, le 
candidat a besoin d'inverser
une matrice, il pourra le faire sans justification à l'aide de sa calculatrice).
III.5. Une formule explicite
p

Pour tout entier i tel que 1  i  p, on considère le polynôme Qi = 
j=1
j=i

X -xj
xi - x j

2

.

III.5.a. Soit i un entier vérifiant 1  i  p. Calculer Qi (xk ) pour tout entier 
k tel que 1  k  p et
démontrer qu'on a
p
2

Qi (xk ) = 0 si k = i et Qi (xi ) = 
j=1 xi - x j
j=i

On pourra utiliser la question préliminaire III.2.
III.5.b. Démontrer que le polynôme P défini par la formule

p 

P =  1 - Qi (xi )(X - xi ) ai + (X - xi )bi Qi
i=1

est le polynôme d'interpolation de Hermite défini à la question III.3.
III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III.4 en utilisant cette formule.

4/5

Troisième partie : polynômes de Hermite
Soit (Hn )nN la famille de polynômes définie par H0 = 1 et, pour tout n  N, 
Hn+1 = XHn - Hn .
III.6. Démontrer que, pour tout n  N, Hn est un polynôme unitaire de degré n.

= (n + 1)Hn .
III.7. Démontrer que, pour tout n  N, Hn+1

Pour tous polynômes P et Q à coefficients réels, on pose
P | Q =

 +
-

P(x)Q(x) f (x)dx,

 2
 +
x
1
f (x)dx = 1.
. On rappelle que
la fonction f étant définie sur R par f (x) =  exp -
2
2
-
III.8. Un produit scalaire sur R [X]
III.8.a. Justifier, pour tous polynômes P et Q dans R [X], l'existence de 
l'intégrale qui définit
P | Q.
III.8.b. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R [X].
III.9. Une famille orthogonale
Dans la suite, R[X] est muni de ce produit scalaire et de la norme associée 
notée  . .

III.9.a. Démontrer que, pour tout P  R [X] et pour tout n  N, P | Hn  = P(n) | 
H0 .
III.9.b. En déduire que, pour tout n  N, la famille (H0 ,H1 ,...,Hn ) est une 
base orthogonale de
Rn [X].
III.9.c. Calculer Hn  pour tout n  N.
III.9.d. Soit P = X 3 + X 2 + X + 1. Préciser les polynômes H1 , H2 et H3 puis 
déterminer quatre
3

réels ai (0  i  3) tels que P =

 aiHi. En déduire la distance d du polynôme P au sous-espace
i=0

R0 [X] des polynômes constants, c'est-à-dire la borne inférieure de P - Q quand 
Q décrit R0 [X].
III.10. Étude des racines des polynômes Hn
Soit n  N. On note p le nombre de racines réelles (distinctes) d'ordre impair 
du polynôme Hn ,
a1 , a2 , ..., a p ses racines et S le polynôme défini par
p

S = 1 si p = 0 et S =  (X - ai ) sinon.
i=1

III.10.a. Démontrer que, si p < n, alors S | Hn  = 0. III.10.b. Démontrer que, pour tout x  R, S(x)Hn (x)  0. III.10.c. En déduire que Hn a n racines réelles distinctes. Fin de l'énoncé 5/5