CCINP Maths 2 MP 2018

SESSION 2018

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MPMA206

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP!
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MATHÉMATIQUES 2
Jeudi 3 mai : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de deux exercices et dun problème, tous indépendants.
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1/6

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EXERCICE I
On note E lespace vectoriel des applications continues sur le segment ! #1,1" 
et à valeurs réelles.

Q1. Démontrer que lon définit un produit scalaire sur E en posant pour f et g 
éléments de E :

$ f g % & '#1 f $ t % g $ t % dt.
1

Q2. On note u : t ! 1, v : t ! t et F & vect (u , v) , déterminer une base 
orthonormée de F.
Q3. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction w : t ! et sur le 
sous-espace F et en déduire

$

%

2 ,
+ 1
inf 2 . ' et # $ a - bt % dt / .
$ a ,b %*" 0 #1
1
On pourra simplifier les calculs en utilisant le théorème de Pythagore.

la valeur du réel

EXERCICE II
Dans cet exercice, n est un entier tel que n 2 2.
Q4. Question préliminaire
Soient un réel 0 4 3 4 1 et $ X n %n21 une suite de variables aléatoires qui 
suivent chacune une
loi binomiale de paramètres n et p &

3
n

.

n # k - 1,
+ n n #1
lim .
....
& 1 et déterminer
n5 -6 0 n
n
n /1
lim P $ X n & k % . On convient alors dapproximer pour n 2 50, p 7 0, 01 et np 
4 10 la loi

Justifier que, pour tout entier

k 2 1,

n5-6

binomiale de paramètres n et p par la loi de Poisson de paramètre 3 & np.
Q5. Un examinateur interroge à loral du concours CCP n candidats tous nés en 
1998. On
suppose que les dates de naissances des n candidats sont uniformément réparties 
sur les 365
jours de lannée 1998. On note X n la variable aléatoire égale au nombre de 
candidats qui
sont convoqués le jour de leur anniversaire. Déterminer la loi de la variable X 
n et donner
son espérance.
Q6. Dans le cas où lexaminateur interroge 219 candidats, donner une estimation 
de la probabilité
que deux étudiants soient convoqués le jour de leur anniversaire. Prendre 0,55 
comme valeur
approchée de e # 0,6 .

2/6

PROBLÈME
On note, pour n entier tel que n 2 2, Mn $ " % lespace vectoriel des matrices 
carrées dordre n à
coefficients réels. On sintéresse dans ce problème, à travers divers exemples, 
à la réduction de
8 aA bA 9
matrices par blocs du type :
; * M2n $ " % où A* Mn $ " % et a, b, c, d sont quatre réels non
< cA dA = tous nuls. On rappelle quun produit de matrices par blocs se fait de manière similaire à un produit classique : 8 A B 98 A> B> 9 8 AA> - BC > AB> - BD> 9
:
;:
;&:
; (chaque matrice bloc étant une matrice de Mn $ " % ).
< C D =< C > D> = < CA> - DC > CB> - DD> =
On pourra utiliser sans démonstration que si P * GLn $ " % , A et B sont deux 
matrices de Mn $ " % et

si T est un polynôme, A & P #1BP ? T $ A % & P #1T $ B % P.

8 A B9
On rappelle que si A, B, C sont des matrices de Mn $ " % , det :
; & det A.det C.
<0 C= Questions préliminaires Lobjectif est de démontrer le résultat suivant : "une matrice M * Mn $ " % est diagonalisable sur " si et seulement sil existe un polynôme P scindé sur " , à racines simples, vérifiant P $ M % & 0 ". Pour cela on considère une matrice M * Mn $ " % et on note u lendomorphisme de " n canoniquement associé à M. Q7. On suppose que u est diagonalisable et on note 31 , 32 ,..., 3 p $ p 2 1% les valeurs propres $ % distinctes de u. Démontrer que le polynôme P & $ X # 31 %$ X # 32 % .... X # 3 p est annulateur de u. Q8. Réciproquement, on suppose que @1 , @2 ,..., @r sont r nombres réels distincts $ r 2 1% tels que Q & $ X # @1 %$ X # @2 % .... $ X # @r % est un polynôme annulateur de u. En utilisant le lemme des noyaux, démontrer que u est diagonalisable sur " et que le spectre de u est inclus dans lensemble (@1 , @2 ,..., @r ) . 3/6 !a b " Un exemple où la matrice # $ est diagonalisable sur ! %c d & 2" ! 4 Q9. On suppose que V ' # $ . Démontrer que V est diagonalisable sur ! et donner une % ( 3 ( 1& !) * " matrice inversible que lon notera P ' # $ et une matrice diagonale D vérifiant : %+ , & V ' PDP (1 (on précisera P (1 ). !) I Q10. Soit A/ Mn - ! . . On pose alors la matrice par blocs Q ' # n % + In * In " . Justifier que la , I n $& matrice Q est inversible, donner la matrice Q (1 et démontrer que la matrice ! 4A 2A" !A 0 " # $ / M2 n - ! . est semblable à la matrice B ' # $ / M2 n - ! . . % (3 A ( A & % 0 2A& Q11. On suppose que la matrice A est diagonalisable sur !, ce qui signifie quil existe une matrice R inversible et une matrice 0 diagonale telles que A ' R0R (1. Calculer le produit de ! R (1 0 " ! R 0 " matrices par blocs : # . $B # 0 R (1 $ #% 0 R $& % & ! 4A 2A" Que peut-on en déduire pour la matrice # $? % (3 A ( A & Q12. On se propose de démontrer la réciproque du résultat précédent. On suppose que la matrice ! 4A 2A" # $ est diagonalisable. Soit T un polynôme scindé à racines simples annulateur de % (3 A ( A & cette matrice, calculer T - A . . Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice A ! 4A 2A" pour que la matrice # $ soit diagonalisable. % (3 A ( A & !a b " Un exemple où la matrice # $ est trigonalisable sur ! %c d & ! 3 (2 " Q13. Démontrer que la matrice E ' # $ est trigonalisable sur ! et donner une matrice % 2 (1 & ! 1 (2 " (1 inversible P telle que E ' P # $P . %0 1 & ! 3 A (2 A " Q14. A/ Mn - ! . , démontrer que la matrice # $ % 2A (A & ! A (2 A " F '# $. A & %0 4/6 est semblable à la matrice Q15. On suppose que la matrice F est diagonalisable sur !. Soit U / ! 1 X 2 un polynôme annulateur de F, scindé sur ! et à racines simples. On note U 3 le polynôme dérivé de U. ! U - A . (2 AU 3 - A . " Démontrer que # $ / M2 n - ! . est la matrice nulle. 0 U A . % & Q16. Vérifier que le polynôme minimal de la matrice A est X. En déduire la valeur de la matrice A. Q17. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice A pour que la matrice ! 3 A (2 A " # $ soit diagonalisable. % 2A (A & Q18. On suppose que la matrice F est trigonalisable sur !. Exprimer le polynôme caractéristique de F en fonction de celui de A. En déduire que F est trigonalisable sur ! si et seulement si A est trigonalisable sur !. ! 3 A (2 A " Q19. Donner un exemple de matrice A/ M2 - ! . telle que la matrice # $ / M4 - ! . ne % 2A (A & soit pas trigonalisable sur !. Applications Q20. Soit u un endomorphisme de ! 4 dont la matrice dans la base canonique - e1 , e2 , e3 , e4 . de !1 3 2 6" # $ 2 2 4 4$ . ! 4 est M ' # # 2 6 1 3$ # $ % 4 4 2 2& Déterminer deux sous-espaces vectoriels de dimension 2 stables par u. On pourra sinspirer de la question Q10. Q21. En adaptant la démarche présentée dans le premier exemple de ce problème (page 4), !4 0 2 0" # $ 0 4 0 2$ # démontrer que la matrice M ' est diagonalisable sur !. Déterminer une #2 0 4 0$ # $ %0 2 0 4& matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que M ' PDP (1 . Q22. Utiliser la question Q21 pour donner les solutions du système différentiel de fonctions inconnues x1 , x2 , x3 , x4 de la variable réelle t : 5 x13 ' 4 x1 4 2 x3 6 6 x23 ' 4 x2 4 2 x4 7 6 x33 ' 2 x1 4 4 x3 86 x43 ' 2 x2 4 4 x4 (on ne demande pas de détails). 5/6 &a ' ( ) b Q23. Sachant que la solution ! sur ! du système différentiel X " # MX vérifiant ! $ 0 % # ( ) est (c ) ( ) *d + &a ' ( ) b la fonction t " etM ( ) où etM désigne lexponentielle de la matrice tM , déterminer la (c ) ( ) *d + matrice e M . FIN 6/6