CCINP Maths 2 MP 2020

SESSION 2020 MP3M2

(INP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Mardi S mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/4
EXERCICE I

Dans cet exercice, 1l est inutile de reproduire tous les calculs sur la copie.

|
On considère la matrice A=|1 2 1|.
1 1 2

Q1. Justifier, sans calcul, que la matrice À est diagonalisable puis déterminer 
une matrice D

diagonale réelle et une matrice P eGL; (R) telles que À = PDP!
Q2. Déterminer une matrice B de #3(R), que l'on explicitera, vérifiant B° = A.

Q3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul », les 9 coefficients de la 
matrice 4" en utilisant
la matrice de passage P.

Q4. Donner le polynôme minimal de la matrice À et en déduire, à l'aide d'une 
division

euclidienne de polynômes, la matrice 47 comme une combinaison linéaire des 
matrices À
et / 2:

EXERCICE II

On considère l'espace vectoriel normé #, (R).

On note GL,,(R) l'ensemble des matrices inversibles de #,, (R).

On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant 
est continue sur

HW, (R).
Q5. L'ensemble GL, (R) est-il fermé dans #,,(R)?
Q6. Démontrer que l'ensemble GL, (R) est ouvert dans #, (R).

Q7. Soit M un élément de #, (R), justifier que :
1p>0, VAel0,p|, M-21,Ee GL, (R).
Démontrer que l'ensemble GL,, (R) est dense dans #,(R).

Q8. Application
Si À et B sont deux matrices de #, (IR), démontrer que les matrices 4.B et B.A 
ont le même

polynôme caractéristique.
0

\ 1
À l'aide des matrices À = 6 ,

0 0
| et B= : Al prouver que le résultat n'est pas vrai pour

les polynômes minimaux.

2/4
Q9. Démontrer que GL,,(R) n'est pas connexe par arcs.

On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application 
continue est une
partie connexe par arcs.

PROBLÈME

Dans ce problème, E est un espace vectoriel euclidien muni d'un produit 
scalaire que l'on notera
( | } de norme associée | ||.

Un endomorphisme de E est une similitude de E lorsqu'il existe un réel k > 0 
tel que pour tout
vecteur x de E, [u(x)]|= k]x]. On dira que u est la similitude de rapport k.

On notera Sim(E), l'ensemble des similitudes de £.
O(E) désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.

L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes 
d'un espace euclidien.

Partie I - Exemples, propriétés

Q10. Démontrer que la matrice À | | est, dans la base canonique de R° , la 
matrice d'une

similitude dont on précisera le rapport.

Q11. Interprétation géométrique avec la similitude z de la question précédente.
Le plan R° est rapporté à un repère orthonormé (©, &, e>).
On considère les trois points M(2, 1), N(4, 1), P(4, 2) et on définit les 
points M', N', P' par
les relations 2(OM)=OM', u(ON)=ON', u(OP) = OP".
Représenter les triangles MNP et MN'P' et comparer leurs aires.

Q12. Démontrer que tout élément de Sim(Æ£) est buectif et établir que Sim(Æ), 
muni de la loi de
composition, est un groupe.

Q13. Soient z un endomorphisme de E, & une base orthonormée de E et À la 
matrice de w dans la
base &.

Démontrer que z est un automorphisme orthogonal de E, si et seulement si, lAA=I 
n°
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport k.

Q14. Exemple

2 2 I
Démontrer que la matrice A=|-2 1 2| est la matrice dans la base canonique de R°
1 --2 2

d'une similitude z dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la 
similitude u |.

Vérifier que, pour tout élément f de O(E), u lo fou eO(E).
3/4
Q15.

On appelle sphère de centre 0 et de rayon r >0, l'ensemble des vecteurs x de £ 
tels que
x] = 7. Démontrer que si z est un endomorphisme de £ tel que l'image par z de 
toute sphère
de E de centre 0 est une sphère de £ de centre 0, alors y est une similitude de 
£.

2 121.

On pourra remarquer que pour y vecteur non nul, |
v|

Partie II - Assertions équivalentes

Q16.

Q17.

Q18.

Q19.

Q20.

On rappelle qu'une homothétie vectorielle de £ est une application de la forme 
&idg.
Démontrer que u e Sim(E), si et seulement si1, y est la composée d'une 
homothétie vectorielle
non nulle de E et d'un élément de O(E).

Exemple

, 2
Ecrire la matrice À | | comme produit de la matrice d'une homothétie 
vectorielle et

de la matrice d'un automorphisme orthogonal de R° dont on précisera la nature.
LL
4
En déduire que z est une similitude de rapport K, si et seulement si,
2 2
Vy)e ET, (uGlu())=# (x|>).

Démontrer que : V{a,»)EUR E?, (x|»)=2{lx+ vf x?)

Démontrer que, si z est une similitude de rapport #, alors, pour tout couple 
(x, y) de vecteurs
de E, (x| y) = 0 > (u(x)[u(y)) = (.
On dit que l'endomorphisme z conserve l'orthogonalité.

Réciproquement, on suppose que z est un endomorphisme de Æ conservant 
l'orthogonalité.

Soit (2,8 ,...,e,) une base orthonormée de £. Démontrer que :
. 2
V(i,j)e [Ln| , (e; +e;

On note # la valeur commune prise par tous les lu(e;)

é; -e;) = 0, puis que : V(i, j)e 111 , [u(e;)| = lu(e;)].

u(e;)] = k le;| démontrer que z est une similitude

Après avoir justifié que, pour tout EUR [Ln] ,

de rapport k.

Soit u une application de E dans E (non supposée linéaire) telle qu'il existe 
un réel 4 > 0 pour

2 2
lequel : V(x,y)e ET, (u(x)[u(y)) = k (x| y).
Démontrer que u est un endomorphisme de E, puis que y est une similitude de £.

FIN

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