CCINP Maths 2 MP 2021

SESSION 2021 MP3M2

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

1/4
Notations pour l'ensemble du sujet :
K désigne R ou C.
On note, pour n entier naturel, n > 2 :
-- M, (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille # à coefficients 
dans K..

-- D, (R) le sous-espace vectoriel des matrices diagonales de M, (R).

EXERCICE

QI. On munit M, (R) du produit scalaire canonique ((A|B) =trace ("AB)), 
déterminer

(D, (R)} , l'orthogonal de D, (R) pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Théorème de décomposition de Dunford

On admet le théorème suivant que l'on pourra utiliser librement :

Si À est une matrice de M, (K) telle que son polynôme caractéristique 7, soit 
scindé sur K, alors
il existe un unique couple (D,N ) de matrices de M, (K) vérifiant les quatre 
propriétés :

(1) A=D+N ;

(2) D est diagonalisable dans M, (K) (pas nécessairement diagonale) ;

(3) N'est nilpotente ;

(4) DN= ND.

De plus, D et N sont des polynômes en À et 7, =%».

Le couple (D,N ) s'appelle la décomposition de Dunford de À.

Partie I - Quelques exemples

Q2. Donner le couple de la décomposition de Dunford d'une matrice 4 de M, (K) 
lorsque À est

diagonalisable, puis lorsque la matrice 4 de M, (K) est nilpotente.

Justifier qu'une matrice trigonalisable vérifie l'hypothèse du théorème, 
admettant ainsi une
décomposition de Dunford.

1 O\f0 1
Le couple de matrices ( À ) est-1l la décomposition de Dunford de la matrice

2 J (0
1 1
?

Q3. Donner un exemple d'une matrice de M, (R) n'admettant pas de décomposition 
de Dunford

dans M, (R).
3 O0 8
Q4. Soit la matrice A=| 3 --I 6
--2 0 --S5

2/4

Calculer son polynôme caractéristique Y,, puis donner le couple (D,N ) de la 
décomposition

de Dunford de À (on utilisera le fait que 7, = Xp).

Q5. Application

+00

Pour 4 e M,(K), exp(4) = > Ai est l'exponentielle de la matrice À.
k=0 *:
Déduire de la question précédente l'exponentielle de la matrice À définie en Q4.
On pourra utiliser sans démonstration que si M et N sont deux matrices de M, 
(K) qui

commutent, exp (M + N)= (exp M ) (exp N )

Q6. Soit 4e M, (K) telle que 4A*(4-1,)=0.

Justifier que le polynôme X(X -- 1) est annulateur de la matrice 4°.
Démontrer que le couple (D,N) de la décomposition de Dunford de la matrice À 
est donné

par: D= A4 et N=A- A7.

Partie II - Un exemple par deux méthodes

3 --] 1]
Soit la matrice A=|2 O0 I
1 --1 2

On note u l'endomorphisme de IR° canoniquement associé à la matrice À.
On notera id l'application identité de R°.

Q7. La matrice 4 est-elle diagonalisable dans M,(R) ?

Démontrer qu'on a la somme directe : IR? = ker(w -- id) ® ker(u --2id)°.

Q8. Déterminer une base (e,, e,,e;) de R° telle que :
ker(u --1d) = vect Le | , ker(u --21d)=vect le, | et ker(u --2id)? =vect {e, 
EUR }.
Écrire la matrice B de u dans la base (e,, e,,e;) de R°.

Q9. Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice B et en 
déduire le couple
(on calculera ces matrices) de la décomposition de Dunford de la matrice À.

I
(XD (x -2)

Q10. Décomposer en éléments simples la fraction et en déduire deux polynômes

U et V tels que :
(X-DU(X)+(X-2) V(X)=1 avec degU <2 et degV <1. Q11. On pose les endomorphismes : p=V(u)o(u--2id)" et 9 =U(u)o(u id). Calculer p(x)+q(x) pour tout x vecteur de R*. Démontrer que p est le projecteur sur ker(w--id) parallèlement à ker("--2id)* et g est le projecteur sur ker( --2id)" parallèlement à ker(u --id). 3/4 Q12. On pose d=p+2q. Écrire la matrice de d dans la base (e,,e,.e;) de R° (de la question Q8). Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice À en exprimant D et N comme polynômes de la matrice À (sous forme développée). Partie III - Une preuve de l'unicité de la décomposition Q13. Q14. Q15. Q16. Q17. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient w et v deux endomorphismes diagonalisables de Æ£ qui commutent. On note Ass, les valeurs propres de u et pour tout 1£i< p, E3(u) le sous-espace propre de associé à la valeur propre 4.. Démontrer que tout sous-espace propre de u est stable par v. En déduire qu'il existe une base commune de diagonalisation pour et v. Pour tout 1