SESSION 2022
QE
CONCOURS
COMMUN
INP
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les
schémas et la mise en
évidence des résultats.
-< Ne pas utiliser de correcteur. *_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. 1/5 EXERCICE 1 Pour nentier, n >2, on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres
complexes x,,x,,..,X,
par :
1 1 1
X: Xo X}
2 2 2
X X n
VOX,X,..,X,) =
n-1 n-1 n-1
X: X) .... ÏX,
L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :
V(x,,x,...,x, )= | | (X; -- X;).
Q1.
Q2.
QS.
Q4.
j
10
Sa SOMME.
Q6. Démontrer que l'application A+ e" est continue sur M, (R).
Q7. Si He M,(R) est une matrice non nulle de la boule de centre 0 et de rayon r
> 0, déterminer
1
la limite de mr" lorsque H tend vers O.
k=2
En déduire que l'application A+ e" est différentiable en la matrice O.
On précisera sa différentielle en 0.
315
PROBLÈME
+00
Pour toute matrice À de M,(R), on note e = A
k=0
Dans ce problème, on note S,, l'espace vectoriel des matrices de M, (R)
symétriques.
On dit que la matrice AeS, est symétrique positive lorsque toutes ses valeurs
propres sont
positives ou nulles.
On note S,* l'ensemble des matrices symétriques positives.
Partie | - Exponentielle d'une matrice symétrique
Pour a et b deux réels, on note :
>
Il
© ©
Q8. Démontrer, en détaillant les calculs, que AE S,*, si et seulement si,
(a+2b2>0 et a>b).
Q9. Calculer J* pour tout entier k non nul. Cette relation est-elle valable
pour k=0 ?
En utilisant la relation À = (a -- b}, + bJ, calculer et expliciter e*.
On pourra utiliser sans démonstration que, si deux matrices À et B de M,(R)
commutent,
B AB
alors e*8 = e/el.
Vérifier que e" eS.*.
Q10. Soit P une matrice inversible de M, (R).
Justifier que l'application M + PMP" est continue sur M, (R).
Si AeëS," est semblable à une matrice diagonale D, déterminer une matrice
diagonale
semblable à la matrice e4.
En déduire que e es *.
Partie Il - Produit de Hadamard de deux matrices
Dans cette partie, pour une matrice A=(a,;) de M, (R), on note E(A) la matrice
de M,(R), de
terme général e°'/ : Eta)=(e°").
Nous allons démontrer que si AS," , alors E(A)EeS,*.
On définit le produit de Hadamard de deux matrices À = (a; ;) et B= (b; ;) de
M, (R) noté * par :
AxB=(a,;b;;)e M,(R).
i,j
On note le produit usuel de deux matrices À et B par AB.
4/5
On confond une matrice de M,,(R) avec son terme réel.
Q11.
Q12.
Q13.
Q14.
Q15.
Q16.
Q17.
a b D
Vérifier que, lorsque la matrice A=)b a bles,",la matrice E(A)es,".
b b a
Si D est une matrice diagonale dont tous les termes sont positifs ou nuls et si
Y est matrice de
M,,,(R), quel est le signe de 'YDY ?
En déduire qu'une matrice À de S, appartient à S, * si, et seulement si, pour
toute matrice
XEeM,,(R) on a XAX >0.
Si À et B sont deux matrices de S," et &, f deux réels positifs, démontrer, en
utilisant la
question Q12, que «A + BB est une matrice de S,.
Si À et B sont deux matrices de S," a-t-on nécessairement ABES,* ?
Si AeS,*, démontrer qu'il existe une matrice ReS,* telle que A =R*.
Si À et B sont deux matrices de S,*, si on pose A=U? et B=V? avec U =(u;;) ES",
V = (vi) es, et si AxB-=(c;;), vérifier que, pour tout couple (/j)e Mint,
n n
Ci; = D 77
k=1 1=1
En déduire que, si À et B sont deux matrices de S,", on a A*BE SE
Pour toute matrice À de M,(R) et pour tout entier naturel p>2, on note A'P la
matrice
A*A*...*xA (pfois).
On note A"° = (1) la matrice dont tous les termes sont égaux à 1 et A"! = A.
Soit une matrice À de M, (R), déterminer la limite de la suite de matrices
(7,,) définie pour
N
tout entier naturel N non nul par 7,, = SA
p=0 P°
Pour XeM,,(R), justifier que l'application MH XMX est continue sur M,(R), puis
démontrer que S," est une partie fermée de S,..
En déduire que si AEURS,* alors E(A)EeS, *.
FIN
9/5
