CCINP Maths 2 MP-MPI 2024

SESSION 2024 MP3M2

CONCOURS
COMMUN

NP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

|

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« _ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

1/5
Q1.

Q2.

EXERCICE 1

--4 2 -2
Justifier que la matrice A=| -6 4 -6 | est diagonalisable et déterminer une 
matrice P telle
--1 1 -3

que P AP soit diagonale.

Application : On considère trois suites réelles (u,) et (w,),, telles que :

neN ? (vs he ?

r

U,.1=--4U, +2V, -2Ww,
4 V,.1=--6U, +4v, ---6w, pour tout ne N.
Wu = Un +Vh --3Ww,

U, n
Pour tout neN,onpose X,=|v, | et Y.=P 1X,=|B, |.
Wh Vn

Pour tout ne N, exprimer Y, en fonction de &o, Po, Yo et n.
À quelle condition sur (u5,vo,W0) les suites (u,),,,(v,).,, et (w,)., 
convergent-elles
simultanément ? Expliciter alors ces suites.

EXERCICE 2

Pour neN, on note $, le groupe des permutations de l'ensemble [0,n --1]. Une 
permutation de

$, Sera représentée en Python par une liste, dont l'élément d'indice i est 
l'image de i par cette

permutation. Par exemple, la liste [3,1,0, 2] représente la permutation &G es, 
définie par
o(0)=3, o(1)=1 o(2)-0 et o(3)=2.

Dans tout l'exercice, on pourra utiliser librement les tests Python du type x 
in L (respectivement x
not in L) permettant de vérifier si x est présent dans la liste L 
(respectivement de vérifier si x
n'est pas présent dans la liste L).

QS.

Q4.

Q5.

Q6.

Si s est une liste Python représentant une permutation de $,, quelle 
instruction Python permet
de trouver l'image de 1 par cette permutation ?
Quelle liste Python représente la transposition (2 3) E Sa ?

Écrire une fonction Python comp(s1, s2) prenant en entrée deux listes 
représentant des
permutations o, et os, du même groupe de permutations et renvoyant la liste 
représentant la

permutation ©, °c; .

Écrire une fonction Python inv (s) prenant en entrée une liste représentant une 
permutation

o et renvoyant la liste représentant o |.

On souhaite tester si un sous-ensemble G de $,, est ou non un sous-groupe de 
S,.. Écrire une
fonction Python groupe (G) prenant en entrée une liste de listes, où chaque 
sous-liste
représente une permutation de S$, et renvoyant True s'il s'agit bien d'un 
sous-groupe de S,,
False sinon.

215
Q7. Écrire une fonction Python cyclique (s) prenant en entrée une liste s 
représentant une
permutation © de $, et renvoyant le sous-groupe de S, engendré par © sous la 
forme d'une
liste de listes.

PROBLÈME

Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour 
prouver qu'une matrice
symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel 
non nul n, une matrice

symétrique M e M, (R) est dite définie positive si et seulement si :
VXEM,1(R})\{0}, X'MX>0.

2 1
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la 
matrice A -[ } est
définie positive.
Caractérisation spectrale

Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs 
propres d'une
matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.

Q10. Application : Démontrer que le polynôme P(X)- X°-6X°+9X-3 admet trois 
racines

réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer).
1 O 1

Démontrer alors que la matrice B=|0 2 1 est définie positive grâce à la 
caractérisation
1 1 3

spectrale.

Un critère en dimension 2

Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :

Une matrice symétrique M e M, (R) est définie positive si et seulement si sa 
trace
et son déterminant sont strictement positifs.

Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive M de taille quelconque vérifie 
toujours Tr(M) > Ô
et det(M) > 0.

Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique MeM,(R), dont la trace et le 
déterminant sont
strictement positifs, est définie positive.

Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices 
symétriques de Y, (R) ?

: 12
Q14. Application : Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que f:(R;) 
-- R définie par

1 LE LE 5 " 5 "_ 3
f(X, y) = X+y+---- admet un extremum local. Préciser s'il s'agit d'un minimum 
local ou d'un
XY

maximum local.

315
EXERCICE 1

--4 2
Q1. Justifier que la matrice A=| -6 4
--1 1

que P 'AP soit diagonale.

--2
--6 | est diagonalisable et déterminer une matrice P telle
--3

Q2. Application : On considère trois suites réelles (u,) _,(v,) et (w,) . 
telles que :

fr

U

4 V

(2
Pour tout ne N, on pose X, =| v

n

n

n1=--4U, +2V, --- 2W

Wh4 = Un +V,

W, )

n

n1=--6u, +4v, -6w, pour tout ne N.

-- 3W,
(O4
et Y,=P TX, =| 8, |.
Yn

Pour tout ne N, exprimer Y, en fonction de @, Po, Yo etn.

À quelle condition sur (ü5,Vo,WQ) les suites (u,)

nan non et VAR convergent-elles

simultanément ? Expliciter alors ces suites.

EXERCICE 2

On considère la série de fonctions Se 1 de la variable réelle et on note f sa 
somme.

n>0

Q3. Déterminer l'ensemble de définition D de f.

Q4. Démontrer que f est continue sur D.

Q5. Calculer la limite de fen +.

+00 +00
Q6. Démontrer que, pour tout Xe D, [ e "dt < f(x) < 1+ [ e "dt. 0 O Q7. En déduire un équivalent de f au voisinage de 0. 215 Q7. Écrire une fonction Python cyclique (s) prenant en entrée une liste s représentant une permutation © de $, et renvoyant le sous-groupe de S, engendré par © sous la forme d'une liste de listes. PROBLÈME Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu'une matrice symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel non nul n, une matrice symétrique M e M, (R) est dite définie positive si et seulement si : VXEM,1(R})\{0}, X'MX>0.

2 1
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la 
matrice A -[ } est
définie positive.
Caractérisation spectrale

Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs 
propres d'une
matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.

Q10. Application : Démontrer que le polynôme P(X)- X°-6X°+9X-3 admet trois 
racines

réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer).
1 O 1

Démontrer alors que la matrice B=|0 2 1 est définie positive grâce à la 
caractérisation
1 1 3

spectrale.

Un critère en dimension 2

Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :

Une matrice symétrique M e M, (R) est définie positive si et seulement si sa 
trace
et son déterminant sont strictement positifs.

Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive M de taille quelconque vérifie 
toujours Tr(M) > Ô
et det(M) > 0.

Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique MeM,(R), dont la trace et le 
déterminant sont
strictement positifs, est définie positive.

Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices 
symétriques de Y, (R) ?

: 12
Q14. Application : Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que f:(R;) 
-- R définie par

1 LE LE 5 " 5 "_ 3
f(X, y) = X+y+---- admet un extremum local. Préciser s'il s'agit d'un minimum 
local ou d'un
XY

maximum local.

315
Le critère de Sylvester

Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute 
dimension.

Pour une matrice carrée quelconque M ={m; ),. ny © Mn (R) et un entier ke[1, 
n], on définit le

k-ième mineur principal comme étant le déterminant de la matrice M, =(m;;). cu 
© V (R). On
7 /1,JENT,

précise qu'une matrice carrée de taille n possède n mineurs principaux.

1 O 1

Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice B=| 0 2 1] de la 
question Q10. sont les

1 13

1 O 1
1 0
déterminants des matrices B, =(1), B, L 2: et B,=B=|0 2 1|.
1 1 3

On dit qu'une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs 
principaux sont strictement
positifs. On souhaite alors démontrer la caractérisation suivante :

Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle 
vérifie
le critère de Sylvester.

Par exemple, pour la matrice B de la question Q10., on constate que :
det(B;) <1>0, det(B,) <2>0 et det(B;) =3>0.

La matrice B vérifie le critère de Sylvester, elle est donc définie positive.

Q15. On fixe une matriie MeM,(R), un entier keÏ1n], ainsi qu'un vecteur colonne
À
X4=| : |Ee M,1(R). Déterminer un vecteur colonne X e M, ,(R)\{0}, tel que :
Xk

XI M, X, = XT MX.

Q16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le 
critère de Sylvester.

Dans les deux questions suivantes, il s'agit de démontrer la réciproque, 
c'est-à-dire que toute
matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie 
positive. Pour cela, on va
raisonner par récurrence sur la taille n de la matrice.

Q17. Soit n>2 et soit une matrice symétrique Me H,(R) telle que det(M) >0. On 
écrit cette
matrice par blocs sous la forme suivante :

M, U
M = UT > avec M, E M, _: (R), (8. E M_11 (R) et aekR.
On suppose que la matrice M, , est définie positive.

Justifier l'existence d'un vecteur colonne Ve, ::1(R) tel que M, ;V +U=0.

4/5
l, V : T 57 M, _; 0,,
En notant Q -- o | démontrer alors que Q MQ s'écrit par blocs avec
1,n-1 1,n-1

B >0.

Q18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le 
critère de Sylvester
est définie positive.

2 1 O0
Q19. Pour quelles valeurs de xeR la matrice C(x)=| 1 1 x | est-elle définie 
positive ?
0 x 1
2 2 1 4 5
2 3 --1 1 -1
Q20. La matrice | 1 ---1 1 3 1 | est-elle définie positive ? Justifier.
4 1 3 5 0
5 -1 1 0 1

Q21. Démontrer que pour tout (x, y,z)e R° \{0} :

4x? +y< +22 +2xy -3xz>0.

Q22. Pour quelles valeurs de neN la matrice S, =| 0 eM,(R) est-elle

définie positive ?

FIN

9/5