Centrale Maths 1 MP 2000

MATHÉMATIQUES / Filière MP

MATHÉMATIQUES |

Définitions

Si f est une fonction de classe C°° définie sur un ouvert 9 c IR et à valeurs 
réel--
les, on notera, pour p 21, fp : f 0 f.. of p fois, fonction définie sur le 
sous--
domaine de Q défini par {x & Q| f(x) & Q., f2(x) & Q, ...,fp"l(x) & 9}. On 
appelle
p -cycle de f un ensemble de p éléments {x0,...xp_l} c 9 tel que
f(x0) : x1 f(xp_2) : xp_1, f(xp_1) : x0. On appelle multiplicateur du cycle
la quantité

(fp)'(x0) = f'(xo)f'.

Un point x e 9 est dit p -périodique s'il est élément d'un p -cycle; un point
1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point 
périodi-
que x0 est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le
multiplicateur de x0 comme point fixe de f p . Le cycle (ou le point p 
--périodique)
sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la 
valeur
absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , 
égale à
1 ou strictement supérieure à 1 .

A I \ . ' I \ l | . . 2
On pourra etre amene a ut111ser un theoreme de fonct10ns 1mphoetes dans IR .
On pourra alors admettre le résultat suivant :

Théorème : Soit Q un ouvert de IR2, F :9 --> IR une fonction de classe C1 , et
(xD, yo) un point de Q, tels que

BF
F(x01y0) : 0? $(x01y0) # 0 '

Alors il existe 8 , n > 0 tels que si on pose I = ]x0-- 8, x0 + e[,

J : ]yO--n, y0 + n[ , l'ouvert V = I >< J est inclus dans 9 et il existe une fonction g : ]x0 -- 8, x0 + e[ --a ]yO--n, y() + n[ de classe C1 telle que: V(x.y)EUR V,F(x,y) = 0@y = g(x)- Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes. Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP Fil'ère MP Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels Soit P : IR--> IR une fonction polynomiale non constante et
Q : {xe IR | P'(x)#0}. Si xe 9, on définit Np(x) comme étant l'abscisse de
l'intersection de la tangente en (x, P(x)) au graphe de P avec l'axe des x .

I.A - Montrer que :
P(x)

Vxe Q,Np(x) : x_P'(x)°

I.B -
I.B.1) Si x e 9 , calculer N'P(x) .
I.B.2) Soit a un nombre réel.

Montrer que si P(a) : 0 , P'(a) := 0 alors a est un point fixe super attractif 
de N P .
Si a est un zéro d'ordre p 2 2 de P montrer que Np peut se prolonger par con-
tinuité en a qui devient un point fixe attractif de N P de multiplicateur 1 -- 
1/ p .

Si x & Q , on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l'on 
peut
définir une suite (xn) telle que x0 = x et:

Vne IN,an Q etxn+1 : NP(xn).
Dans ce cas, cette suite (xn) sera la suite de Newton de x par P.

I.C - Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge
vers a & IR alors P(a) : O.
I.D - Soit réciproquement a & IR un zéro de P.

I.B.1) Montrer l'existence de EUR > 0 tel que si ly -- al < 8 alors la suite de Newton de y par P est bien définie et converge vers a . On appelle I (a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la suite de Newton par P converge vers a . I.D.2) Montrer que c'est un intervalle ouvert ; on l'appelle le bassin immédiat de a . Concours Centrale-Supélec 2000 2/5 MATHÉMATIQUES / Filière MP LE - I.E.l) On suppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a-- le plus petit zéro de P ; on suppose que & , le plus petit zéro de P' vérifie %> a-- et que 
P" ne
s'annule pas sur ]--oo, & [. Montrer que le bassin immédiat de a" est égal à

]--°°aë [°

I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme
]oc,B[, oc,Be IR.

Montrer successivement que N P(]oc, B[) c ]oc, B[, que P(OE)P'(OE)P(B)P'(B) # 
O, et
enfin que N P(oc) : B , N P(B) : oc. Ce 2 - cycle peut--il être attractif ?

I.F - Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que 
le
bassin immédiat de a contient un zéro de P" .

I.G - On suppose P de degré d 2 2 possédant d zéros distincts. Montrer que N P
attire tout zéro de P" vers un zéro de P.

Partie II - Étude algébrique

Soit P un polynôme de C[X ] de degré d (on note d°(P) = d) . Dans cette partie
la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou
plus généralement des fractions rationnelles et N P est la fraction rationnelle

NP(X) = X--%.

II.A - Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N P vérifie

R = %, Q,Se C[X],PGCD(Q,S)= 1,d°(Q)= d,d°(S)= d--1
(*)

et R possède d points fixes super attractifs

(Un point fixe super attractif de R est un point ze C tel que R(z) : z,
R'(z) = o).

II.B - Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant ( *). Montrer
qu'il existe P E C[X ] , de degré d , possédant d zéros distincts, tel que R = 
N P.

II.C - Deux fractions rationnelles f , g sont dites semblables s'il existe une 
simi-
litude T(z) : az + b (a, b e C, a :: O) telle que si @, .@' désignent les 
domaines de
définition de f, g (c'est-à-dire le complémentaire dans C de l'ensemble des
pôles) alors T(Q) : 9' et

V2 eg' , f(z)= T_1o g 0 T(z) .

Concours Centrale-Supélec 2000 3/5

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Si a, b e C, a # 0 et si T(z) : az + !) montrer que NPO T est semblable à NP.

II.D - Déterminer N P pour P(X) : X 2, P(X) : X 2 -- 1 : montrer que si P est un

polynôme de degré 2 alors N P est semblable à z |--> Ï ou bien à z |--> E + --1-

2 2 22 °
II.E - Pour m e C on définit

Pm(z)= z3 + (m -- 1)z --m= (z --1)(z2 +z + m), Nm(z) = Npm(z)

Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N P est semblable à

z r--> 2% soit il existe m e C tel que N P est semblable à N m .

II.F - Quel est l'intérêt des résultats des deux questions précédentes pour
l'étude des suites de Newton par les polynômes de degré 5 3 ?

Partie III - Étude analytique du cas cubique réel

Dans cette partie on suppose m e IR, on garde les notations du ILE et on s'inté-
resse au comportement des suites de Newton des nombres réels par Pm .

III.A -

III.A.1) Montrer que Pm a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si
m := --2 , m # 1/4 .

III.A.2) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par
Pm est définie et converge vers un réel à préciser.

III.B -

III.B.1) Montrer que si m' < 1/ 4 , m' := --2 alors Pm, possède trois zéros réels dis- tincts, soient : la _--1+J1--4m' b _--1--J1--4m' , m'----2'7 ___--° m' 2 Si de plus m' < 0, montrer qu'il existe m e ]0, 1/4[ tel que N m, soit semblable à N III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que m e [O, 1/4[ . Pm pos- sède alors trois zéros réels distincts, soient : la _--1+A/1--4m b _--1--A/1--4m , ___--'-- _. m 2 'm_ 2 m . III.B.8) On pose xâ : i 1--m et on désigne par ]oc(m), B(m)[ le bassin immé- diat de am . Montrer que la onction x |--> |N'm(x)| est strictement décroissante

sur ]xb, am[ et strictement croissante sur ]0, x3[ .

Concours Centrale-Supélec 2000 4/5

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III.B.4) Montrer que la fonction M m = N m 0 N m est définie sur un intervalle
]xi,xî[c]xb,xä[ Où Nm(xi) : xâ, Nm(xî) : xô.

On désigne par E , @+ le plus petit et le plus grand zéro de M 'm . Montrer que 
la
fonction M 'm est strictement décroissante sur ]xi, {[ et strictement croissante
sur ]ë+, x'{[.

III.B.5) Montrer que l'intervalle [E, @+] est inclus dans le bassin immédiat
de am

III.B.6) Déduire de III.B.4 et III.B.5 que {a(m),B(m)} est le seul 2 - cycle de 
N m.

III.B.7) Montrer que oc(O) : --B(O) et en déduire que oc(O) : --L

JË .
III.B.8) On pose F(m, x) = M m(x) -- x . Si u est un réel, un développement 
limité

à l'ordre 1 de la fonction

m 1-> F(m,-- 3-- + um)

./3

peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve :

En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité
à l'ordre 1 de oc en O.

III.C-

III. C. 1) Montrer qu 'il existe une et une seule valeur mo de m & IR telle que 
0
soit 2 -périodique pour Nm .Donner une valeur approchée a 103 près par défaut
de mo en indiquant l'algorithme utilisé.

III.C.2) Montrer qu'il existe 7] >O tel que si |m--m0|