Centrale Maths 1 MP 2005

n__>_ e...___... _ oe...30F<ËEË ...âä... m8w om@Q:OE - ÆOEÈOEU mËeËoü On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble % des fonc-- tions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c'est un espace vectoriel sur C. Il est muni de la norme uniforme définie par llxlloe = SüPlx(t)l tE IR Pour tout ou appartenant à IR , on note % la fonction définie sur IR par la formule : eoe(t) : e""t. On note U la fonction définie par U (t) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les 
sous-espa--
ces vectoriels considérés seront des C -espaces vectoriels. On notera x* la 
conju--
guée complexe de x , c'est-à-dire la fonction : t+--> x(t) .

Partie I -

Soit x une fonction appartenant à 93 . On appelle moyenne de x , s'il existe, le
nombre

M(x) : lim MT(x) avec MT(x) : %fîx(t)dt (1)

T--->oe

On dira alors que la fonction x est moyennable.
I.A -

I.A.1) Montrer que MT est une forme linéaire sur % , que l'ensemble des
fonctions moyennables %1 est un sous-espace vectoriel de % , et que M est

une forme linéaire sur %1 . On notera de façon équivalente Mx ou M (x) cette
moyenne.

I.A.2) Vérifier que MT et M sont lipchitziennes pour ||.lloe.

I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation: si 1: EUR IR et
xE %] on pose xt(t) : x(t--t) , alors xT est moyennable et Mx : MJC:-

I.C -

I.C.l) Soit x une fonction de @ de période P ( P > 0 ). Montrer que pour tout
a E IR , f: +Px(t)dt : ffx(t)dt . En déduire que x est moyennable, et que M(x) 
est
égale àla moyenne sur n'importe quel intervalle de longueur P.

I.C.2) En particulier montrer que M(ew) : 0 pour m réel non nul, et
M(e0) : 1.

1.0.3) Montrer que si lim x(t) : c , alors x est moyennable et M (x) = c .

t-->oo

I.C.4) Soit x0 la fonction définie par x0(t) : U(t)e""""'. Vérifier que

x0 EUR % , calculer M T(x0) . Examiner le comportement de M T(x0) lorsque T --* 
oo ,
et en déduire que x0 n'est pas moyennable.

I.D - La fonction x est dite de carré moyennable si T l---) M T|xl2 admet une 
limite
lorsque T tend vers + oo . Cette limite est appelée moyenne quadratique de x :

Mlxl2 = Tlim MT(lx|2) ' (2)

On notera %2 l'ensemble des fonctions de @ de carré moyennable.

I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers 0 à l'infini est aussi de
moyenne quadratique nulle.

I.D.2) Pour x,yE%2, donner une majoration de |MT(lxlz)--MT(IyIZ)\ et
|Mlxl2 -- M lyl2| en fonction de llxll.. , Ilylloe , llx -- yll.. -

I.D.3) Montrer, à l'aide de x0 et U , que %2 n'est pas un espace vectoriel.
LE - On dira que deux fonctions, x, y de %2 sont comparables si existe

 : M(xy*) : 7lim MT(xy*) (3)

LED Si E est un espace vectoriel inclus dans %2 , montrer que deux fonc-
tions x, y E E sont comparables (développer lx + y|2 et lx + iyl2 ). Il en 
résulte que
sur E , (x, y) »---->  est un « pseudo-produit scalaire » (il est 
linéaire à gauche,
semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier

Mlx+yl2 : Mlxl2+ Mlyl2+2Re  (4)

I.E.2) On dira que deux fonctions x, y EUR%2 , sont orthogonales si  = O 
.
Que vaut alors M lx + y|2 ?

I.E.3) Écrire l'inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).

I.F - Soit P un réel strictement positif. Montrer que l'ensemble des fonctions 
P -

périodiques de % est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et
comparables.

LG - Soit
N

93 = {x : x(t)= 2 cke""k' NEIN,ckE C,oekEIR distincts}
k=l

l'ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé
dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques).

Montrer que 95 est stable par produit de fonctions, et que l'application
(x, y) l----->  définit un produit scalaire sur 93 .
N

N
. . , . 2 2
En part1cuher, pour x = 2 ckeoek , etabhr que M lxl : 2 |ck| .
k = 1 k = 1

I.H - Soit une suite xn EUR %1 qui converge uniformément vers x EUR % .
I.H.l) Montrer l'existence de m : lim M (xn) (utiliser1.A.2).

n-->oe

I.H.2) En déduire que x E %1 et M (x) = m (pour EUR > 0 , on choisira n tel que
"x --xn||ü0 < & et |m -- M(xn)| < e ). I.I - Soit une suite xn & %2 qui converge uniformément vers x EUR % . 1.1.1) Montrer que K = sup {||xn||oe, lelloe(n E N)} < + oo. 1.1.2) Montrer que lim M l'"an : m2 existe. n-->oo

1.1.3)2 En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que x6 %2 et
Mlxl : m2.

Partie II -

On appelle @ l'ensemble des limites uniformes sur IR de suites de fonctions
appartenant à ? .

II.A - Montrer les propriétés suivantes :
11.A.1) Q est un espace vectoriel inclus dans %1 n%2 , et fermé pour Il."°° .

11.A.2) Toutes les fonctions de @ sont comparables, et continues.
11.A.3) Si x EÊ , alors V't EUR IR xT EÊ .

II.A.4) Si 2 |ck| < + ce et (ok EUR IR , la série de fonctions k = 0 x = 2 Ckewk converge normalement sur [R et x EÊ . k = 0 II.A.5) Æ est stable par produit des fonctions. II.A.6) Soit x,xEÊ , à valeurs réelles, et y : IR--> C continue. Montrer que

y ox EÊ (le montrer d'abord lorsque y est une fonction polynomiale à coeffi-
cients complexes).

II.B - Les coefficients de Fourier--Bakr de x E @ sont définis, pour une 
fréquence
oeEIR, par c(oe) :  .

Si Pn est une suite de @ convergeant uniformément vers x , la réunion 9 des
fréquences présentes dans chacun des Pn est un ensemble fini ou dénombrable
que l'on énumère donc selon le cas 9 : {oek, 0 sk s m} ou 9 : {oek, le E IN} .On
pose

Pn : 2cn,k e...)! et d(n) : max{k : cn,k : O} , « degré » de Pn .

Montrer que pour tout réel oe,c(oe) existe et vaut c(oe) : lim . En
déduire que : " "' °°

si oe$£2 alors c(oe) : 0 , et pOur tout k , c(oek) : ck : lim cn,k.

n---->oo

II.C - Si Q est fini, montrer que

m . , m
x(t) : 2 ckemkt. En déduire la formule de Parseval : Mix!2 : E |ck|2,
k=0 k=0

II.D - On se propose d'établir la formule de Parseval dans le cas où 9 est 
infini.
On construit la suite nj définie par "o = O, nk : min(n : d(n)>d(nk_l)). Soit
qk(t) : Pnk(t) , on a donc dk : d(nk) suite strictement croissante vers +00 (le 
fait
que la suite n j existe est admis).

II.D.1) On pose
N oo

SN : 2 ckeoek. Calculer M|x--SN|2 et en déduire que 2 |c,,|2 s Mlxl2.
k=0 k=0

II.D.2) Pour tout k 2 0 , montrer que x -- S dk est orthogonal au sous-espace 
vec--

toriel Ek engendré par les em , où 0 s jd s dk. En déduire que
w]

M|x-- qk|2 lex-- Sdk|2-- =M--lxl jEÛ |cj|2

II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur IR de Pn vers x que

lim M|x-- ku2 =O

k---+oo

En conclure que

lim M|x s ,,2| = @, M|x12 : 2 gck|2 (5)

n--->OO

Partie III -

Pour une fonction x EUR % , la fonction de corrélation de x est définie (si cela
existe) par

"EEIR Yx('t) :  : qlim MT(xx*r) (6)

où * est la conjugaison complexe.

On appellera fonction stationnaire une fonction x pour laquelle Vr & IR , yx(r)
existe.

III.A - Montrer qu'une fonction stationnaire appartient à %2 .
III.B - Montrer que |yx(t)| s Yx(0) , et que yx(--r) : Yx(1î)*.

III.C - Si x est stationnaire, montrer qu'il en est de même de y : ewx et que,
pour tout t appartenant à IR , on a y y(17) : yx(t)elm

III.D -

III.D.1) Si x appartient à @ , montrer que x est stationnaire. On note {oek, ck}
ses fréquences et coefficients de Fourier--Bohr, et Sn le polynôme trigonométri-
que défini par :

n
k = 0

III.D.2) Pour tout 17,1: EUR IR , calculer y Sn(r) .

III.D.3) Montrer que Yx est la somme de la série de fonctions

+00
2
k20 lckl eoek

normalement convergente sur IR et que Yx appartient à @ (on majorera
|yx(t)-- Ys (r)] en fonction de M|x-- Sn}2 ).

III.E - Soit x une fonction l--périodique de % .

III.E.1) Montrer qu'elle est stationnaire, et que Yx est aussi 1-- périodique.
III.E.2) On note

ak : fÂx(t)e

--2inktdt, k EZ

les coefficients de Fourier complexes de x. Montrer que les coefficients de 
Fou--
rier de Yx sont ck : ]ak|2.

III.F - Soit E(t) la partie entière de t et F(t) : t--E(t) sa partie 
fractionnaire.
La fonction x1 définie par x1(t) : e"2maF(t) où a est un réel irrationnel, est 
une

fonction 1-- périodique de % , de coefficients de Fourier complexes ak .

III.F.l) Calculer les ak . Que vaut

oo

}; |ak|2 ?

k=--OO

III.F.2) Calculer yxl(t) pour 17 E [O, 1[ et vérifier que ny est continue sur 
IR.
III.F.3) En déduire que ny EÊ . Calculer

+00

2 (-1)k _
Jt2(a +k)2

k:-oo

ooo FIN ooo