Centrale Maths 1 MP 2011

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EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Développement asymptotique du reste
des séries de Riemann convergentes

L7objet de ce problème est de donner une approximation de la somme des séries 
de Riemann +convergentes
+00 1
S(a)= Eno, -- où oz est un réel strictement supérieur a 1. Pour cela, on étudie 
le reste Rn( =î-- k°"

n= 1

Dans la première partie, on donne une première approximation du reste. Cette 
méthode se généralisant mal, on
utilise dans la deuxième partie une formule de Taylor pour obtenir simplement 
un développement asymptotique
du reste. Lïnconvénient de cette méthode est qu7elle ne donne aucun contrôle de 
Ferreur.

Dans la troisième partie, on retrouve a partir de la formule sommatoire 
dÈuler--Maclaurin le même dévelop--
pement asymptotique avec une expression de Ferreur assez satisfaisante. On a 
besoin dans cette partie d7une
étude succincte des polynômes de Bernoulli.

Dans la dernière partie, on étudie de manière assez précise le contrôle de 
cette erreur, pour conclure que les
formules sommatoires étudiées ne sont pas nécessairement convergentes.

Rappels et notations
On note {x} la partie entière d7un réel æ.

Soit (un)nEURN et (Un)nEURN deux suites réelles. On note Un = O(un) si

ÈM6R, ÈnOEN, VnEN, n> n0=lvnl< Mlunl I Etude préliminaire I.A + Convergence des séries de Riemann I.A.l) Soit f une fonction réelle, définie continue et décroissante sur {a, +ool, où a E R. Montrer, que pour k+1 k tout entier [EUR EUR {a+1,+oo{, on a / f(æ) dx £ f(k) £ f(æ) dæ k k_1 1 I.A.2) En déduire la nature de la série de Riemann z -- selon la valeur de oz E R. 77/06 n>1

En cas de convergence on pose S(a =Ëî" --

1

I.A.3) Pour tout réel Oz > 1, montrer que 1 £ S(a) $ 1 + 1.
a *

LE + Première étude asymptotique du reste

Dans la suite du problème, pour tout réel oz strictement supérieur a 1 et pour 
tout entier naturel non nul n, on
+00
1
pose Rn (oz) = k--a.
k=n

1 1
I.B.l) En utilisant lbncadrement de la question I.A.1, montrer que R" (Oz) = fi 
+ O<--Q). a + n n 1 I.B.2) Soit f la fonction définie sur Rï par f(æ) = W. En appliquant a f la formule de Taylor 1 1 avec reste intégral à l7ordre 2, montrer que, pour tout [EUR E N*, f(k + 1) + f(k)= k_°' + %ka+l + Ak 1 où Ak est un réel vérifiant 0 £ Ak £ %. I.B.3) En déduire que 1 1 1 R. = -- -- o< >
(a) (& _1)na + 2n + n°'+1

On pourrait répéter le procédé pour obtenir un développement asymptotique plus 
précis de Rn(a), mais la
partie suivante va donner une méthode plus rapide.

24 mars 2011 19:12 Page 1/4 ch_

II Formule de Taylor et nombres de Bernoulli

II.A + Nombres de Bernoulli

II.A.1) Montrer qu7il existe une suite réelle (an)nEURN ayant la propriété 
suivante : pour tout entier p E N*,
pour tout intervalle non réduit à un point I et pour toute fonction complexe f 
de classe 000 sur I, la fonction
g définie sur I par g = a0f + au" + ' ' ' + apn1f(pÿl) vérifie

1

9+2!9 +3!

g(3) +. .+_ p!g g(P)_ _f + î b...Ûf(P+Ù

où les bl7p sont des coefficients indépendants de f que Fon ne cherchera pas à 
calculer.
p+1

II.A.2) Montrer que @@ = l et que pour tout p 2 l, ap = + z

i=2

ap+l+i
i!

. En déduire que M" $ 1 pour tout

entier naturel p. Déterminer al et (12.

II.A.3) a) Pour tout Z E (C tel que M < 1, justifier que la série z apzp est convergente. pEURN On note = ;%=  2, montrer que An (0 ) = An(1) et que A2n:1(0) = 0.

d) On pose provisoirement cn = An(0 ) pour tout entier naturel 71. Montrer que, 
pour tout 71 E N,

X" X2
An(X) =COÎ--1--H '--1--Cn 2Î--1--Cn: 1X--1--Cn
puis que, si n 21,
00 cn:2 cn:1
(n+1)!+ + 3! + 2! +c"

@) En déduire que, pour tout 71 E N, on a en fait cn = an.
III.A.2) Fonction génératrice

a) Montrer que la série En A ,,t( )2"+ converge pour tout réel t E 1--1, 11 et 
tout complexe 2 vérifiant 121 < 1. Sous ces conditions, on pose f( t(, 2) =îî) An( b) Soit 2 E (C tel que 121 < 1. Montrer que la fonction t 1--> f(t, 2) est 
dérivable sur 10, 11 et exprimer sa dérivée
en fonction de f(t, 2). En déduire que, si 121 < 1 et 2 # 0, +00 26 z A,,(t)2" = 2 . ":O 6 : 1 262/2 2 2/2 + _ --. ez:1 ez:1 ez/2=1 0) Montrer que, si 2 E (C et 121 < 27T, on a 2 2"*1 III.A.3) Variations des polynômes de Bernoulli 1 1 En déduire, pour tout entier naturel 71, An <--) = < : 1) an. On établit ici une majoration des polynômes de Bernoulli sur 10, 11. a) Montrer que pour tout entier naturel 71 2 2, les variations des polynômes A,, sur 10,11 correspondent schématiquement aux quatre cas yci-- dessous : E 0(mod4) : 1(mod4) : 2(m)od4 : (m)od4 En d7autres termes, pour n> 2, on a:

1. Sin:2mod4, alorsAn ( ) An(1

10 --1 et strictement croissante sur 1
A,,(

O>A(

N|H

) ) ; de plus, la fonction An est strictement décroissante sur
1
5

1)

72
2. Sin:0mod4, alorsAn ( )

A5V

0< An (%); de plus, la fonction An est strictement croissante sur 10, 51 et strictement décroissante sur 1%, 11. 3. Si 71 : 1mod4, alors An(0 ) = An (%) = An(1) = 0; de plus, An < 0 sur 1r0, %1 et An > 0 sur 1%,11.
4. Si 71 : 3mod4, alors An(0) = An (%) = A,,(1)-- _ 0; de plus, An > 0 sur 10, 
%1 et An < 0 sur 1%,11. b) Pour tout 71 E N* et tout x E 10, 11, montrer que 1A2n(æ)1 £ 1a2n1 et 1A2n+1(æ)1 £ 1612711. 2 III.B : Formule sommatoz're d'Euler-Maclaurän III.B.1) Soit f une fonction complexe de classe 000 sur 10, 11. a) Montrer que pour tout entier q 2 1 f(1)ff(0)=Z(fl)j+l1Aj1'()f(j)()1)/ A< t) (......

J'=1

b) En tenant compte des relations trouvées dans la partie précédente, montrer 
que pour tout entier naturel
impair q = 219 --1-- 1

f(1)--f(0)=â(f(0)+f'(l))=za2j (f(2j)( f(2j)(0) )/ A2p+1()(t)tffif(2p+2)()

III.B.2) Soit 71 E N et soit f une fonction réelle de classe 000 sur 171, +oo1. 
On suppose que f et toutes ses
dérivées sont de signe constant sur 171, --1--oo1 et tendent vers 0 en +00.

24 mars 2011 19:12 Page 3/4 @C) BY--NC-SA

En appliquant, pour k 2 n, le résultat précédent à fk (t) = f(k + t), montrer

+oo

+00 P
2 f'(k) = +f(H) + %f'(fl) * za2jf(2j)(n) + Aä...fl?fiWt> dt
k=n j=1

TL

où on a posé A; (t) = Aj (t -- ...) pour tout t E R.

Montrer que

+oo
Aäp+1f<2p+2>dtl < l"--ÿl lf<2p+1>l
1
III.B.3) Montrer que, dans l%xpression de RTL (oz) du II.B.2, le terme O 1 et on considère la fonction f définie 
sur Rï par f(æ) = W.
+ oz æ

IV.A + Encadrement de l'erreur

IV.A.1) Soit g une fonction continue par morceaux croissante sur {O, ll.

1/2

En remarquant f01 = 0 + f11/2, montrer que

1
-- si n E 1mod4, alors / An(t)g(t)dt } O;
0

1
-- si n E 3mod4, alors / An(t)g(t)dt $ 0.
0

IV.A.2) En reprenant les notations de II.B.2, montrer que pour tout entier 
naturel p 2 1

Sn.4p(a) < S(OE) < Sn.4p+2(a) et que Sn.4p(a) < S(OE) < Sn.4p=2(a) En déduire que Ferreur S(a) -- Sn72p(oz) est majorée par a2p+2f(2pl2) (n) . 1 IV.A.3) Dans cette question, on reprend le cas de II.B.3. Sachant que 61% = E' retrouver que Ferreur lS(3) -- Ë10074 (3)l est majorée par une expression de Fordre de 10Î17. IV.B + Séries de Fourier . , ... x $ Pour tout entier naturel p 2 1 et tout reel m, on pose Ap(æ) = AP <2-- -- b--l ). 7T 7T IV.B.1) Montrer que Âp est 27T--périodique et continue par morceaux. IV.B.2) À l7aide de la question III.B.1, déterminer les coefficients de Fourier de Âp : A 1 2" ... . Ap(n) / Ap(t)eÿmoedæ 0 =fi IV.B.3) Étudier la convergence de la série de Fourier de Âp. p+1 S(2p) IV.B.4) Pour p E N*, en déduire que agp = A2P(O) = (+1) @. IV.C + Comportement de l'erreur IV.C.1) Montrer que, pour tous entiers n, p 2 1 a2p+2f(2p+2)(n) (@ + 2p)(Oé + 219 + 1)S(2p + 2) a2pf(2p) (n) 4n27r25(2p) IV.C.2) Que dire de Papproximation de S(a) par Ën72p(oz) lorsque, n étant fixé, p tend vers +oo ? Pour le calcul numérique de S (oz), comment doit--on choisir n et p? oooFlNooo 24 mars 2011 19:12 Page 4/4 @'à BY--NC-SA