Centrale Maths 1 MP 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Dans tout le problème, R2 est muni du produit scalaire euclidien canonique noté 
{ , ) et de la norme H H associée.
Si il est un ouvert non vide de R2 et si (k, n) EUR (N*)2, on note CWQ,R") 
l'espace des fonctions de classe C'EUR de
il dans R".

Si f E C1(Q,Rn), la différentielle de f au point 19 de Q est notée dfp; sa 
matrice relativement aux bases
canoniques de R2 et de R" est appelée matrice jacobienne de f en p et est notée 
Jac f (19)

Si f est dans C2(Q,R), on dit que f vérifie (1) si et seulement si

82 82 82 2
V(OE,y) EUR @, Ô--;2Û(OE,y) >< Ô--yJQÛ(OE,y) -- (Ôoegy(oe,y)) = 1 ... On note 792 l'ensemble des fonctions polynomiales de degré < 2 de R2 dans R c'est--à--dire les applications de R2 dans R de la forme oe+-->aoe2+boey+cy2+doe+ey+f où (a,b,c,d,e,f)EURRô.

Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (l) sur R2 
appartiennent a 792.

I Les équations de Cauchy-Riemann
Soient f et g dans C1(R2,R) vérifiant les équations, dites de Cauchy--Riemann,

Ôf_@ et OE_ @

Ôoe_Ôy Ôy__Ôoe

On définit deux fonctions sur Rï >< R par V(r, @) EUR Rï >< R, Î(r, @) : f(r cos 9, rsin @) et ÿ(r, @) : g(r cos 9, rsin @) Pour n EUR Z, on note &, l'espace des fonctions f de C2(Rï, @) telles que W 6 Rï, t2 f"(t) +tf'(t) -- n2 f(t) : 0 LA -- I.A.1) Exprimer â--î(r,9) et â--£(r,9) en fonction de 7°, 9, Ê--ï(r cos 9,rsin @) et â--£(r cos 9,rsin EUR). * af _ 1 ag ag _ 1 af I.A.2) Pour tout (7°,9) EUR R+ >< R, montrer Ê(r,9) _ 7° >< ÔH(r,9) et Ôr(r,9) _ 7° >< 89 (7°, ). I .B -- Pour oz E R, soit g0a la fonction de Rï dans R définie par W EUR Rï, g0a(t) : t"' I.B.1) Pour tout n EUR Z*, déterminer les réels oz tels que g0a appartienne a En. I.B.2) Déterminer En pour n EUR Z. On discutera séparément le cas n = O. I. C' -- Pour n EUR Z, soient cn,f et cn,g les fonctions de Rï dans @ définies par 0 (7°) : L " Î(r @) e_...9 d9 n,f 27T _71- 7 VT EUR Rï, 1 77 . cn,g(r) / ÿ(r, @) e_...9 d9 I.C.1) Montrer que cn,f est de classe C1 sur Rï et vérifie in V7° EUR Rï, (Cn,f)l (7°) : ? Cn,g('°) 2013-04--16 13:54:48 Page 1/3 GC) BY-NC-SA 1.C.2) Montrer que cn,f appartient a En et que cn,f est bornée au voisinage de 0. En déduire l'existence de an E @ tel que V?" E Rï, cn,f(r) : an r'"' 1.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir N p V(7°79) EUR RÎÎ_ >< R, f(7",9) : li_)m î: anrlnl eine p oo n=--p . . ôf af , 2 I .D -- Dans cette question, on suppose que les fonctions 8-- et 8-- sont bornees sur R . 95 y 1.D.1) Si n EUR Z, montrer que la fonction (cn,f)' est bornée sur Rï. . Ôf Ôf I.D.2) Montrer que les fonctions 6_ et 6_ sont constantes. 95 y 11 Quelques solutions de (1) Si 1 est un intervalle de R, on dit que U E C1(I , R) vérifie (11.1) sur 1 si et seulement si Vt EUR [, u(t) (u(t) + 275 u'(t)) : --1 (11.1) II .A -- Déterminer les fonctions de 772 vérifiant (1) sur R2. II.B -- En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si (t0,uo) est dans (R*)2, l'existence d'un intervalle ouvert 1 de R contenant to et d'une fonction U E C1(I , R) telle que u soit solution de (11.1) sur I et vérifie u(t0) : u0. II. C' -- Soit ] un intervalle ouvert non vide de R. Existe--t--il une fonction polynomiale solution de (11.1) sur ] ? II.D -- Soient ] un intervalle ouvert non vide de R, Q(J) : {(oe,y) EUR R2, oey E J}, w dans C2(J, R) et W la fonction définie par V(OE,y) EUR QU)» W(OEvy) = w(OEy) 11.D.1) Montrer que Q(J ) est un ouvert non vide. 11.D.2) Montrer que W est dans C2(Q(J),R) et que l'on a équivalence entre i. W vérifie (1) sur Q(J), ii. w' vérifie (11.1) sur J. 11.D.3) Montrer que W est la restriction a Q(J ) d'une fonction de 792 si et seulement si w est affine. II.E -- Soient il un ouvert non vide de R2, f dans C2(Q,R) vérifiant (1) sur Q, (a, 19) EUR R2, Qa,b l'image de Q par la translation de vecteur (a, b) et fa,b la fonction définie sur Qa,b par V(OE,gj) EURQa,bv fa,b(oeay) =f(OE--OE,y--b) Montrer que fa,b vérifie (1) sur Qa,b. II.F -- Si (9607 yo) est dans R2, montrer qu'il existe un ouvert U de R2 contenant (oeo,yo) tel que l'ensemble des fonctions de C2(U, R) vérifiant (1) sur U et ne coïncidant sur U avec aucun élément de 772 soit infini. 111 Un critère de difiéomorphisme III.A -- Rappeler la définition d'un C1--difiéomorphisme de R2 sur R2 et le théorème caractérisant un tel difiéomorphisme parmi les applications de classe C1 de R2 dans R2. Dans la suite de cette partie, on considère oz EUR Rï et F E C1(R2, R2). On suppose que pour tout (1), h) E R2 >< R2  > allhll2

Le but de cette partie est de montrer que F est un C1--difiéomorphisme.
III.B -- Soient }) et q dans R2.

111.B.1) Vérifier

F (cz) -- F (19) = [; de+t(q--p)(q -- p) dt

2013-04--16 13:54:48 Page 2/3 GC) BY-NC-SA

III.B.2) Montrer

> 0 +oo quand HpH --> +oo.

III.C.3) En déduire que Ga atteint un minimum global sur R2 en un point pg.
III.C.4) Montrer que F(pO) : &.

III .D -- Montrer que F réalise un C1 --difiéomorphisme de R2 sur R2.

IV Le théorème de J ôrgens
Soit f dans C2(R2,R) vérifiant (1) sur R2.

Ï(oe,y) et F(oe,y) :  0 pour tout (ac, 
y) EUR R2.
96

I V.A -- Si (ac, y) EUR R2, montrer que J ac F (ac, y) --I2 (où 12 désigne la 
matrice identité d'ordre 2) est symétrique
positive. En déduire que F est un C1--difiéomorphisme de R2 sur R2.

2 2 2
â_æ f(oe, y) 8OE( ,y) = Ôoegy(oe,y) et t(oe,y) : a--yJ2Û(OE79) de sorte

que, pour tout (oe,y) EUR R2, r(oe, y) > 0 et r(oe, y) toe(, y)-- s(ac,y)2 : 1.

Dans la suite, soient, pour (ac, y) EUR R2, r(,æ y)=

IV.B --
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions @ et 
,v<æ, :... Ë--ÎÊ<<< > et ä--Ï,v>