Centrale Maths 1 MP 2015

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cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Autour de la transformation de Radon

L'objectif de ce problème est l'étude d'un certain opérateur intégral agissant 
sur les fonctions du plan, appelé
transformation de Radon. On se propose d'établir une formule d'inversion et 
d'interpréter la transformation en
termes de fonctions invariantes sur un groupe de matrices. Enfin on étudiera 
une application du procédé dans
le domaine de l'imagerie médicale.

Notations

On note [R le corps des nombres réels et M3([R) l'algèbre des matrices carrées 
de taille 3 >< 3 à coefficients dans [R. Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de M3([R) est noté GL3([R) et son élément neutre, 13. Les éléments du plan vectoriel [R2 seront notés en colonne, pour tout réel 9 on notera Üe = (ïrîä ). Le plan est muni de sa structure euclidienne canonique, donnée par le produit scalaire % oe2 , =:coe + <(y1) (y2)> 1 2 91312

L'ensemble des matrices des rotations vectorielles planes est appelé groupe 
spécial orthogonal et noté SO(2), son
cos 9 -- sin 9 )

élément neutre, 12. On écrira R9 = .
s1n9 cos9

I Préliminaires géométriques

51
a A
Soit G le sous-ensemble de M3([R) des matrices de la forme M (A, b) = b2 où A 
est un élément du

001

51

b ) est un vecteur quelconque du plan euclidien [R2.
2

groupe spécial orthogonal SO(2) et Î) = (

I.A -- Isométries afiines directes du plan euclidien
I.A.1) Déterminer un couple (A,Î)) dans SO(2) >< [R2 tel que l'on ait M(A,Î)) : 13. I.A.2) Soient (A,Ë) et (A',Î)') dans SO(2) >< [R2. Montrer que M(A,Î))M(A',ÎJ') : M(AA',AÏ)' +Ë). _, I.A.3) Montrer que les éléments de G sont inversibles et expliciter l'inverse de M (A, b). I.A.4) Démontrer que G est un sous-groupe de GL3([R). G -->[R2

I.A.5) L'application  : {M(A,ÎJ) |--> Î) est-elle surjective ? Est-elle 
injective ?

I.B -- Droites a_fiines du plan
"1
"2
(qu1,qu2) et orthogonale à ü.

Pour q EUR [R et ü = ( ) vecteur unitaire de [R2, on note A(q, &) la droite 
affine du plan passant par le point

I.B.1) Représenter graphiquement A(O, %) et A (2, 61 + 62 ).

\/ë

I.B.2) Déterminer une équation cartésienne de A(q, fig).

x(t) = qcos9-- tsin0

1 -
y(t) : q Sin9 + t cos 9 Orsque t par

I.B.3) Montrer qu'une paramétrisation de A(q, %) est donnée par {

court [R.
I.B.4) À quelle condition les droites A(q, 11) et A(r, Ü) sont--elles 
confondues ?

I.C -- Action de G sur les droites

On note 2) l'ensemble des droites affines du plan et on considère l'application 
\I/ : { --

2015-01-29 10:24:43 Page 1/4 [_

I.C.1) Représenter Q(M(A,Ë)) dans le cas A = Rfi/6 et Î) : (à).

1.0.2) Déterminer \1: (M(12,Ô)).
I.C.3) Vérifier que \I! (M (R9,qüg)) : A(q, üg) ; en déduire que \Il est 
surjective.
I.C.4) Soit H l'ensemble des matrices M(A,ÎJ) de G telles que OE(M(A,ÎJ)) : 
A(O, ë1).

a) Décrire les éléments de H.
I) ) Montrer que H est un sous-groupe de G.
0) Montrer que pour tout g de G, et tout h de H, on a OE(gh) : OE(g).

Pour tout entier n, on note B,, l'ensemble des fonctions f de classe C1 sur [R2 
à valeurs dans [R telles que
(a:,y) l--> (932 + y2)"f(oe,y) est bornée sur [l?2.

Si f est une fonction continue sur [R2 on appelle transformée de Radon de f la 
fonction f définie, là où c'est
possible, par

+oo
f(q,9)=/ f(qcos9--tsin9,qsin9+tcosû)dt

II Fonctions radiales

II.A -- Étude d'un exemple
1
On considère, dans cette sous-partie seulement, la fonction f définie par : 
V(oe,y) E W, f (a:, y) = m.

II.A.1) Établir que f est dans 231.

II.A.2) Montrer que f est définie sur [R2 avec f (q, 9) = F

JÎ--q2'

1 2" A , R'(q)
II.A.3) On pose R(q) = -- f(q,9) d9. Demontrer que q l-->

27r 0
__1 +00 R'(q)
f(0,0)-- «], q dq

est intégrable sur ]0, +00[ et que

On pourra, pour calculer cette dernière intégrale, procéder au changement de 
variable q = sh(u).

II.A.4) La fonction % est-elle dans 232 ?

II.B -- Fonctions radiales : cas général
On suppose dans le reste de cette partie qu'il existe une fonction 
 O, de

A +oo
Vq 5 [W, va 6 [R f(q,9) = LO") dr
q ?"2 _ q2
1 277 A +oo _
II.B.4) En déduire que Vq E [W, --/ f(q,9) d9 : 2 rf(r) dr.
27r 0 q ?...2 _ q2

III Transformée de Radon d'une fonction de 291

On considère dans cette partie une fonction f appartenant à 231 et on rappelle 
que

A +oo
f(q,l9)= f(qcos9--tsin9,qsin9+tcos9)dt

--OO

III.A -- Vérifier que f est définie sur [RZ.

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III.B -- Justifier que pour tout q et tout «9 on a f(--q,9 + 7r) : Î(q,9).
1 277

111.0 -- On pose encore f(r) : 2-- f(r cos t,rsin t) dt.
7r
0

III.C.1) Démontrer que Î est de classe C'1 sur [R.

III.C.2) Démontrer que la fonction 7" l--> r2 f (r) est bornée sur [R.

8f ôf

III.C.3) Montrer que si on suppose de plus que & et 874 sont dans 82, alors 7" 
l--> r4Î'(r) est bornée sur [R.

Sous ces hypothèses, on peut démontrer en manipulant des intégrales doubles que 
la formule du II.B.4 reste
vraie. Nous admettrons donc dans la suite que

1 27r ,. +oo 7'Î(7")
VG[R+ --/ ,9d9=2/ _dr

IV Formule d'inversion

On souhaite retrouver la fonction f a partir de sa transformée Î . À cet effet 
on pose pour (oe,y) EUR [R2,

1 27r ,.
Ram/(q) : % f(xcos9+ysin9+q,9)dû
0
. . , . . 2 --1 +°° @@
L'ob3ect1f est de demontrer la formule d'inversion de Radon : V(oe, y) E [R , f 
(a:,y) : ? [q dq.
0
I V.A -- Résultats préliminaires
dt 7r

+oo
IV.A.1) Justifier l'existence de l'intégrale / t et montrer que sa valeur est 5.
1

Vt2--1

IV.A.2) Soient 5 et ?" fixés tels que 0 < 5 < 7". Avec le changement de variables q = ?" cos @, établir que /r dq _ 7'2--62 5 q2 r2--q2 7"25 I V.B -- Étude d'une fonction définie par une intégrale +oo t [1 t Soit h une fonction de classe C 1 sur [R+. On suppose que r l--> r2h(r) est 
bornée et on pose H (q) = / t2(q )1
1 _

IV.B.1) Montrer que H est continue sur ]0, +oo[.

1
IV.B.2) Montrer qu'au voisinage de +00 on a H(q) : O ((I--2).
IV.B.3) Démontrer que si on suppose de plus que ?" +--> r4h'(r) est bornée, 
alors la fonction H est de classe C'1
sur ]0, +oo[.

I V.C -- Vers la formule d'inversion

8 8
On considère une fonction f de 231 dont les dérivées partielles 8--20 et ô--î: 
sont dans 232.
1 2" - +°° rf(r)
On pose, avec les notations de la partie III : Vq EUR [R+, F(q) : 2--/ f(q,9) 
d9 : 2 ? dr.
71' 7" _
0 q

IV.C.1) Justifier que F est de classe C'1 sur ]0, +00[ et qu'au voisinage de 
+00 on a F(q)

OG)-

+oo / +00 1 +00 _
IV.C.2) Démontrer: Ve > o, / F @ dq= _F(E' +2 / -- ( rf(r' dr) dq.
6 q

5 q 8 q2 \/7"2--q2

IV.C.3) On admet que l'on peut intervertir les deux intégrales ci dessus et 
donc que

+00 1 +00 7'Î(7') +oo r 'I"Î('I")
Ve>0 [ (q_2 _Wdr) dq=/EUR ([; --q2 r2--q2 dq) dr

']

+°° F '(Q) +°° Î(?")
En déduire ue Ve > 0,/ d = --28 _ dr.
q 5 Q q 5 rV r2 -- 62

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I V.D -- La formule d'inversion

ôf ôf

On considère une fonction f dans 231 telle que 8_ et 8_ sont dans 232.
55 y

IV.D.1) Établir la formule d'inversion de Radon pour cette fonction f au point 
(ac, y) = (0,0).
IV.D.2) Les hypothèses faites sur f sont--elles nécessaires pour que la formule 
d'inversion de Radon soit vérifiée
au point (a:,y) = (0,0) ?

IV.D.3) Proposer une démarche pour obtenir la formule d'inversion de Radon en 
tout couple (a:, y) à partir de
la formule en (0,0).

V Interprétation et application à la radiographie

La transformation de Radon peut être introduite dans le cadre plus général de 
l'analyse sur les groupes. Le but
de cette partie est d'interpréter l'opérateur étudié plus haut en termes de 
fonctions invariantes sur G.

V.A -- Fonctions invariantes sur G

Si f est une fonction définie sur [R2, on note f * la fonction f o, définie 
sur G par f *(g) = f (©(g)) où @ : G --> [R2
est la fonction introduite dans la question I.A.5.

V.A.1) Démontrer que pour tout g dans G et r tel que (r) = 0 on a f*(gr) = 
f*(g).

On dit alors que f * est invariante par les rotations du plan, vues comme des 
éléments de G.

V.A.2) On suppose a présent que f vérifie les hypothèses permettant de définir 
sa transformée de Radon et
on va démontrer que f peut également être vue comme une fonction sur G, sujette 
à un autre type d'invariance.
Démontrer que si deux droites A(Q1,ügl) et A(q2,üg2 ) coïncident, alors 
f(q1,01) = f(q2,92).

Ce résultat permet de faire l'abus de notation f (A (q, û6))= f (q, EUR)) sans 
qu'il en résulte d'ambiguïté.

V. A. 3) On définit a présent f* sur G en composant f par \II: on pose, pour 
tout g E G, f*(g )- -- f (OE(g)).
Démontrer que f* est H-- --invariante, c 'e-st à--dire que pour tous g E G et h 
E H, f*(gh)= f*(g ).

V.B -- Reconstruction en radiographie

Une technique courante en imagerie médicale consiste

à mesurer l'intensité d'un faisceau de rayons X avant et Ïs
après la traversée d'une certaine zone, l'objectif étant

de déterminer la densité des tissus dans la zone. L'ob--

jectif des dernières questions du problème est d'illus-

trer, dans un modèle de dimension deux, comment la

formule d'inversion de Radon peut être utilisée dans

ce cadre.

On modélise la densité des tissus, exprimée dans des
unités convenables, par une fonction inconnue f nulle Ïe
en dehors de la zone à étudier et dont on suppose
qu'elle vérifie des hypothèses assurant l'existence de

f.

En supposant que chaque faisceau de rayons X incident est porté par une droite 
affine A, et en notant 1 son
intensité mesurée de part et d'autre de la zone visée, un raisonnement 
heuristique donne

n<ï--:>=/,f

où le membre de droite désigne l'intégrale de f sur la droite A dans un sens a 
préciser.

Figure 1

V.B.1) Proposer une définition rigoureuse du membre de droite de (V.1) dans le 
cas où A = A(q, üg).

V.B.2) Expliquer comment la formule d'inversion de Radon permet en principe de 
connaître la densité des
tissus dans la zone radiographiée.

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