Centrale Maths 1 MP 2022

Mathématiques 1
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Exemples de contraintes symplectiques linéaires

Notations

-- Dans tout le problème, n et m désignent des entiers naturels non nuls.

-- On note WM,,(R) l'ensemble des matrices carrées de taille n x n à 
coefficients réels et Z, la matrice identité
dans M, (R).

-- Pour tous entiers naturels non nuls p et q, on note M, qa(R) l'ensemble des 
matrices à p lignes et q colonnes
à coefficients réels. Ainsi, M, ,(R) est l'ensemble des matrices colonnes à n 
lignes et M,,,(R) = M, (R).

-- On note 8, (R) l'ensemble des matrices réelles symétriques de M,,(R).

-- On note GL, (R) le groupe linéaire réel d'ordre n (matrices carrées 
inversibles dans M, (R)) et SL, (R) le
sous-groupe des matrices de déterminant égal à 1 :

SL, (R) = {A EUR M, (R) | det(A) = 1}.

-- On note A la transposée d'une matrice À.
-- Le produit scalaire canonique de R" et la norme euclidienne associée sont 
notés respectivement (-,-) et ||:|.
-- Le groupe orthogonal réel d'ordre n est noté O,,(R) :

Oj(R) = {AE MR) | ATA=1,}.

-- Si E est un R-espace vectoriel, on note £(E) l'ensemble des endomorphismes 
de Æ et £(E,R) l'ensemble
des applications linéaires de E dans R.

Objectif

Ce problème à pour objectif de définir la notion d'espace symplectique réel et 
d'étudier certaines propriétés des
endomorphismes symplectiques de R?.

La première partie établit quelques résultats utiles dans la suite.

La deuxième partie définit toutes les notions relatives aux objets 
symplectiques utilisés dans la suite du problème.
La troisième partie vise plus spécifiquement à montrer que toute matrice 
symplectique réelle a un déterminant
égal à 1.

La quatrième partie aborde la définition des contraintes permettant d'injecter 
un objet dans un autre au moyen
d'un endomorphisme symplectique.

Les deux dernières parties sont largement indépendantes.

I Préliminaires
Q 1. Soient À et B deux matrices de M,,(R) telles que

VIXY)E(MualR)),  XTAY = XTBY.
Montrer que À = B.

Q 2. Soit M EUR GL,,(R). Montrer que les valeurs propres de MM sont toutes 
strictement positives.
En déduire qu'il existe une matrice S symétrique à valeurs propres strictement 
positives telle que $? = MM.

IT Objets symplectiques

IT.A -- Structure d'espace vectoriel symplectique réel

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n.

On appelle forme symplectique sur E toute application w de E? dans R qui 
vérifie les trois propriétés suivantes :
-- bilinéarité : V(x, y, 2) EUR E3, VER, w(x + Ày, 2) = w(x, 2) + Au(y, 2) et 
w(x, y + Àz) = w(x, y) + Aw(x, 2) ;
-- antisymétrie : V(x, y) EUR E?, w(x, y) = --w(y, x):

-- non dégénérescence : {x EUR E|VyeE, w(x,y) = 0} = {0%}.

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Un espace vectoriel symplectique réel (E,w) est un R-espace vectoriel de 
dimension finie EÆ muni d'une forme
symplectique w sur Æ.

Q 3. Montrer que, si w est une forme symplectique sur E, alors pour tout 
vecteur x de E, w(x,x) = 0.

Pour tout sous-espace vectoriel F' d'un espace symplectique (Æ,w), on appelle 
w-orthogonal de F' et on note F"
l'ensemble

Fe ={xeE |VyeF, w(x,y) = 0}.

Soit Fun sous-espace vectoriel d'un espace symplectique (E,w).
Q 4. Justifier que F® est un sous-espace vectoriel de Æ.
Q 5. Le sous-espace F" est-il nécessairement en somme directe avec F'?

Pour tout x EUR FE, on note w(x,-) l'application linéaire de Æ dans R, y w(x, 
y) et on considère

E -- £L(E,R)
x  w(x,:)

& .

Q 6. Montrer que d,, est un isomorphisme.
Pour { E £(E,R), on note {|}; la restriction de £ à F°.
£(E,R) -- Z(F,R)

p > 4 est surjective.

Q 7. Montrer que l'application de restriction rx :

Q 8. Préciser le noyau de rx 0 d,,. En déduire que dim F* = dim E -- dim F.

Q 9. Montrer que la restriction w; de w à F° définit une forme symplectique sur 
F si et seulement si
FOEF*---E,
II.B -- Structure symplectique standard sur KR"

On suppose qu'il existe une forme symplectique w sur R" et on note Q EUR M, (R) 
la matrice définie par

Q = (w(e,,e,

ie

où (e1,...,e,,) désigne la base canonique de R".
Q 10. Montrer que

V(x,y) EUR R? x R?, w(x,y) = X'QY

où * et Y désignent les colonnes des coordonnées de x et y dans la base 
canonique de KR".
Q 11. En déduire que {2 est antisymétrique et inversible.

Q 12.  Conclure que l'entier n est pair.

Jusqu'à la fin du problème, on suppose que n est pair et on note m EUR N* 
l'entier naturel tel que n = 2m.
On note J E M, (R)(= Mom(R)) la matrice définie par blocs par

J -- DO  --1,,
1, 0
et on note j l'endomorphisme de R" canoniquement associé à J.
R? XR?T -- R&R

(x,y) HR (x, j(y))
Il existe donc des formes symplectiques en dimension paire, et seulement en 
dimension paire.

est une forme symplectique sur R".

Q 13. Montrer que l'application b, :

La forme symplectique b, est appelée la forme symplectique standard sur KR".

ITI.C --- Endomorphismes et matrices symplectiques réels

On appelle endomorphisme symplectique d'un espace vectoriel symplectique réel 
(E,w) tout endomorphisme
u EUR £(E)) tel que

V(x,y) EUR E*, w(u(x),u(y)) = w(x, y).

On note Symp, (E) l'ensemble des endomorphismes symplectiques de l'espace 
symplectique (E,, w).
Soit u EUR Symp, (E) un endomorphisme symplectique de E.

Soient À, 4 des valeurs propres réelles de u, et soient Æ,(u), E,.(u) les 
sous-espaces propres associés.

Q 14. Montrer que, si Au # 1, alors les sous-espaces Æ,(u) et E,(u) sont 
w-orthogonaux, c'est-à-dire :

VxEe Eu), VyeE,(u), W(x, y) = 0.

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Soit u EUR £(R"?) un endomorphisme de R". On note M la matrice de u dans la 
base canonique de R".

Q 15. Montrer que u est un endomorphisme symplectique de l'espace symplectique 
standard (R°,b.) si et
seulement si M'JM = J.

Une matrice M EUR M, (R) est dite symplectique si M'JM = J.
On note Sp, (R) l'ensemble des matrices symplectiques réelles dans M,,(R) = 
M2,,(R) :

Sp. (R) = Sp... (R) = {M EUR M, (R)| M'JM = J}.

Q 16. Montrer que Sp, (R) est un sous-groupe de GL,,(R), stable par 
transposition et contenant la matrice J.

Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d'ordre n = 2m.

A B
C D

Q 17. Montrer que M EUR Sp, (R) si et seulement si

Soient À, B, C, D dans M,,(R) et soit M -- | | E M:,,(R) (décomposition par 
blocs).

A'C'et B'D sont symétriques et  A'D---C'B=I,.

III Déterminant d'une matrice symplectique réelle

L'objectif de cette partie est de montrer l'inclusion Sp, (R) EUR SL, (R) par 
deux méthodes différentes qui reposent
chacune sur une propriété structurelle du groupe symplectique Sp, (R) qu'on 
examine au préalable.

III. À -- Le cas de la dimension 2
Q 18. Montrer que Sp, (R) = SLA(R).

III.B - Commutant de J

On note EUR ; = {M EUR M, (R) | JM = MJ} le commutant de la matrice J, 
c'est-à-dire l'ensemble des matrices
de M,,(R) qui commutent avec J.

Q 19. Montrer que, pour toute matrice M EUR M, (R)(= Mom(R)):

ME6, = AU,V)e M, (PR) x M, (R). u=(Y v)

Q 20. En déduire que, pour toute matrice M EUR EUR ;, det(M) > 0.

1e 1, 0 ÙU --V 1, 0
On pourra considérer le produit de matrices par blocs ei 1) (r U | Cr I. )

ITI.C -- Décomposition polaire d'une matrice symplectique réelle

On note OSp, (R) = Sp,,(R) NO, (R) l'ensemble des matrices symplectiques et 
orthogonales réelles de W,,(R).
On munit M,,(R) de sa topologie d'espace vectoriel normé de dimension finie.

Q 21. Montrer que OSp,, (R) est un sous-groupe compact du groupe symplectique 
Sp, (R).

Q 22. Montrer que OSp,(R) C Cy.

Q 23. En déduire que, pour toute matrice M de OSp, (R), det(M) = 1.

Jusqu'à la fin de la sous-partie IITL.C, on considère une matrice M EUR Sp, (R).

Soit S EUR 8, (R) une matrice symétrique à valeurs propres strictement 
positives telle que S? = M'M.

Q 24. Montrer que $ est symplectique.

On pourra considérer une base de vecteurs propres de l'endomorphisme s de R"" 
canoniquement associé à
S, et montrer que s est un endomorphisme symplectique de l'espace standard (IR, 
b..).

Q 25.  Justifier que S est inversible puis montrer que la matrice © définie par 
O = MS! appartient au
groupe OSp,, (R).

Q 26.  Conclure que le déterminant de la matrice M est égal à 1.

ITI.D -- Génération du groupe symplectique par les transvections symplectiques
Soit (E,w) un espace vectoriel symplectique de dimension n = 2m.

On appelle transvection de E tout endomorphisme 7 de Æ tel qu'il existe { EUR 
£(E,R) et a EUR ker(£) vérifiant
Vxe E, T(x) = x + (x) a.

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III.D.1) Transvection symplectique

Q 27. Soit a EUR E un vecteur non nul et À EUR KR un réel. Montrer que 
l'application TÈ définie par
VxeE, Ti(x)=x+Aw(a,x)a

est une transvection de Æ et qu'il s'agit d'un endomorphisme symplectique de ce 
même espace.

Les applications TÈ pour aEUR E\{04}et ÀEUR R sont appelées transvections 
symplectiques de E.

Q 28. soit a EUR E un vecteur non nul et soient À et y des réels. Montrer que 
Te TÈ -- TATH,

Q 29. Soient a EUR Æ un vecteur non nul et À un réel. Montrer que det(r*) > 0.

Q 30. La réciproque (r)! est-elle encore une transvection symplectique ?

On se propose de montrer le théorème suivant :

Tout endomorphisme symplectique de Æ peut s'écrire comme la composée d'au plus 
2n = 4m
transvections symplectiques de E :

si u EUR Symp, (E), il existe un entier p < 4m et T,, T2, ....., 7, des transvections symplectiques de E telles que u--7T,0:070 71. III.D.2) Un lemme On commence par montrer le lemme suivant : Pour tous vecteurs non nuls x et y de E, il existe une composée 7 d'au plus deux transvec- tions symplectiques de Æ telle que (x) = y. On fixe x et y, non nuls, dans E,. Q 31. Supposons que w(x,y) # 0. Montrer qu'il existe À EUR R tel que Ta (&) = y. Q 32. Supposons que w(x,y) = 0. Montrer qu'il existe un vecteur z EUR ÆE tel que w(x,z) # 0 et w(y, z) £ 0. Q 33. Montrer le lemme cité ci-dessus. III.D.3) Le théorème Soit u EUR Symp, (E) un endomorphisme symplectique de E. Soit e, EUR Æ un vecteur non nul. Q 34.  Justifier l'existence de f, EUR Æ, non colinéaire à e,, tel que w(e,, f,) = 1. On pose P = Vect(e,, f.) le plan vectoriel engendré par les vecteurs e, et f,. On va montrer l'existence d'une composée 0 d'au plus quatre transvections symplectiques de Æ telle que é(ule;)) -- EUR; ut = j, TL) Q 35. Pourquoi existe-t-il une composée 0, d'au plus deux transvections symplectiques de Æ telle que Ô: (u(e:)) -- EUR, ? Q 36. Notons f, le vecteur 6, (u( f1)). Montrer qu'il existe une composée 0, d'au plus deux transvections symplectiques de Æ telle que (arf On pourra adapter la démonstration du lemme précédent. La composée 0 = 6,00, d'au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (IIL.1) souhaitées. On pose v = Ô ou. Q 37. Montrer que P est stable par w et déterminer v,, endomorphisme induit par v sur P. Q 38. Montrer que P" est stable par vw. Q 39. Montrer que la restriction w... de w à P® x P® munit P* d'une structure d'espace symplectique et que l'endomorphisme v,. induit par v sur P® est un endomorphisme symplectique. Q 40. À l'aide de ce qui précède, montrer le théorème annoncé. III.D.4) Une conséquence topologique On munit toujours l'espace M, (R) de sa topologie d'espace vectoriel normé. Q 41. Montrer que le groupe symplectique Sp, (R) est une partie connexe par arcs de cet espace. III.D.5) Deuxième conséquence Q 42. Utiliser les résultats de cette sous-partie TIT.D pour prouver l'inclusion Sp, (R) EUR SL, (R). M035/2022-03-15 12:10:59 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA IV Exemples de problèmes de plongements symplectiques linéaires Dans cette partie, on fixe n = 2m > 4.

On rappelle que SYMP, (R°") désigne le groupe des endomorphismes symplectiques 
de l'espace symplectique
standard (R°",b,). On note de plus SL(R?") le groupe des endomorphismes de R?"* 
de déterminant égal à 1.
Pour r > 0, on considère les parties suivantes de R°".

-- La boule euclidienne fermée de rayon r :
B°"(r) -- { (x. es Lys V1: .... Um) EUR R?7, 27 Tee + a + y ++ ye. < r°} ' -- Le cylindre symplectique de rayon r basé sur les axes de coordonnées numéro 1 et m + 1 : ZM 7) = Éd 2 Lyme Vis ces Un) ER, AS + Yi LTr°}. Sur des exemples (boules ou cylindres) de parties À et B de R*", on étudie l'existence d'un endomorphisme u tel que u(A) C B lorsque u EUR SL(R°"), puis lorsque u EUR Symp,, (R°"). IV.A --- Injection par u EUR SL(R*") d'une boule dans un cylindre Q 43. Montrer que, pour tout r > 0, il existe u EUR SL(R*"") tel que u(B°"(1)) 
EUR Z?"(r).

IV.B - Injection par u EUR SL(R*") d'une boule dans une autre

Soit r > 0 tel qu'il existe u EUR SL(R?") vérifiant u(B°"(1)) EUR B°"(r).

Notons U EUR M,,,(R) la matrice de u dans la base canonique de R°".

Soit À EUR C une valeur propre complexe de la matrice U.

Q 44. Montrer que |À| < r. Pour le cas À non réel, si P et Q dans M om .1 (R) sont telles que Z = P + iQ est une colonne propre de U pour la valeur propre À, on pourra montrer que |[UP|? + |UQI? = [AZ(|PI +1Q1). Q 45. En déduire que 1  0 existe-t-il u 
appartenant à SL(R?") tel que
u(B?"(1)) EUR B*"(r) ?

IV.C -- Injection symplectique d'une boule dans un cylindre

Soit r > 0 tel qu'il existe un endomorphisme symplectique 4 EUR Symp, (R°") 
vérifiant VB" (1)) EUR ZE (r).
On note M EUR Sp. (KR) la matrice de # dans la base canonique (e,,...,e,,, 
f1,...., fm) de R2" et ! l'endomor-
phisme canoniquement associé à M!.

Q 47. Montrer que |b, (4! (e1),w1(f1))| = 1 puis que (4! (e,)| > 1 où fu! (AI > 
1.

Q 48. Montrer que 1  Det R' > 0,ilexiste Y EUR Symp,, (R°7) tel que Y(B°"(R)) EUR Z?"(R') 
si et
seulement si À < R. eeoeFrINeee M035/2022-03-15 12:10:59 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA