Centrale Maths 1 MP-MPI 2024

Mathématiques 1 à
MP,MPI ©
ON

4 heures Calculatrice autorisée

Inégalité de Carleman

On s'intéresse dans ce problème à une inégalité établie par Torsten Carleman : 
si (az)ren» est une suite de réels
: _ pe 1/n
strictement positifs telle que Sa, converge, alors la série de terme général 
(I, ax) converge et
+0 ; n l/n +00
D(IIu)  0, on pose

HA HA

1 1 1
g(x) = -- fre dt et h(x) = --g(x) = = fre dt.
æ æ æ
0 0
Q 2. Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0.
Q 3. Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers +oo.
+00
1
Notant 1,1 la fonction indicatrice de [0,x], on pourra remarquer que g(x) -- | 
a tT EM Lo x) (t) dt.
0
+00

Q 4. En déduire que l'intégrale | h(x) dx converge et que

0
fre dx = [nc dx.
0 0

On pourra utiliser une intégration par parties.

I.B --- Démonstration de l'inégalité de Knopp
Soit f une fonction continue par morceaux, strictement positive, intégrable sur 
R..

Q 5. Démontrer que, pour tout x > 0,

M055/2024-05-02 10:42:24 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA
On pourra remarquer que In(f(t)) = In(tf(t)) -- In(é).

TX

ji
Q 6. En déduire que x H exp É | In(f(é)) 1 est intégrable sur R* et que
x

0
+00 l x +00
xp Fe puce) a] dx 2
z x

est minimale pour x = k.

Q 8. Démontrer que, pour tout 4 dans N*,

k 2 k
| EXP É fureur] dx > exp É DT)

k--1 0

On pourra utiliser la question précédente.
Q 9. En déduire l'inégalité de Carleman dans le cas où (a,,),en- est une suite 
décroissante.

Q 10. Expliquer comment on peut retirer l'hypothèse de décroissance.

IT Inégalité de Carleman

On démontre dans cette partie l'inégalité de Carleman d'une manière 
indépendante de la partie I.

La sous-partie IT.A établit l'inégalité arithmético-géométrique avec des 
méthodes de calcul différentiel qui per-
mettent de se familiariser avec celles qui seront utilisées dans la sous-partie 
ITL.B pour démontrer l'inégalité de
Carleman.

La sous-partie IIL.B est indépendante de II.A. L'inégalité 
arithmético-géométrique sera utilisée dans la partie ITT.

Soit n dans N°. On note U,, l'ouvert (R° )". Son adhérence, notée U,,. est (R. 
)".

IT. À -- Inégalité arithmético-géométrique

Soit s > 0. On définit les fonctions f et g, sur U,, en posant, pour tout x = 
(x,,...,x,,) EU

n°
n n
f(x) -- LEZ et  g,(x) = (> 7 -- $.
k=1 k=1
On note X, le sous-ensemble de U,, constitué des zéros de g, : X, = {x EU, | 
g,(x) = 0}.
Q 11. On admet que f et g, sont de classe ©! sur U,. Donner l'expression de 
leur gradient en un point
x = (%,,..,%,) de U,.
Q 12.  Démontrer que la restriction de f à À, admet un maximum sur X, et que ce 
maximum est en fait
atteint sur À, NU,
On pourra vérifier que f est strictement positive en certains points de X, NU.
On note a = (a;,.....,a,,) un élément de X, NU, en lequel la restriction de f à 
X, atteint son maximum.
f(a)
À

Q 13.  Démontrer qu'il existe un réel À > 0 tel que, pour tout k dans [1,n], a, 
--

n l/n n
1
Q 14.  Démontrer alors que, pour tout (x,,...,x,) E U,NX,, (Il üi) < -- ) +, et en déduire l'inégalité n < =] i=1 arithmético-géométrique M055/2024-05-02 10:42:24 Page 2/4 (cc) BY-NC-SA n l/n n ñ 1 V(t,..,%,) EUR (R,)", (II) < = ET II.B --- Démonstration de l'inégalité de Carleman On considère l'application F,, de U,, dans R, définie par V(x.,..,2,) EU, F(a,t,) = 2 + (aim) 2 + (ri tome) 8 ++ (mie, JP, On note h,, l'application de U,, dans R, définie par V(xi,....,x,)EU,, h,(t,..,2%,) = ++, -- 1. On admet que F, et h,, sont toutes deux de classe ©! sur U,.. On note H,, l'ensemble H,, = {(x,,..,x,) ERt|x; ++, =1}. Q 15. Déterminer le gradient de F,, et le gradient de h,, en tout point de U,.. Q 16.  Démontrer que la restriction de F, à U,, N H,, admet un maximum. On admet que le maximum de F, est en fait atteint sur VU, N A, On note M,, le maximum de F, sur U, NH, et on note (a;,....,a,) un point de U, NH, en lequel il est atteint. Pour k entre 1 et n, on note +, = (a,as-- ay )l/F. Q 17.  Démontrer qu'il existe un réel À > 0 tel que

[ 72 Vn

nt tt. = Aa
72 Vn
12 4,4 7m 2)
> ? Les As
4
In 2 ja,
n
Ca +ap+-.+a, =!

Q 18. En déduire que:
a) = +++ = M, :

b) pour tout 4 dans [1,n], 7, = Aw,a,, où
Ax+1 |:
part) sikel.n---1]
dk
wWy =n

L'objectif des trois questions suivantes est de démontrer que À < e. On suppose par l'absurde que À > e.

Q 19. Vérifier que, pour tout k dans N, - < | ---- e k + 2 Q 20.  Démontrer que w, < : et que, pour tout k dans [1,n], «w, < 1 w, \ On pourra démontrer, pour k EUR [1,n--1], que CE -- OL -- ) Q 21.  Aboutir à une contradiction sur w,,. En déduire que, pour tout n dans N", pour tout (x,,...,x,) EUR (R' )" tels que #, +-+x, = 1, nr D (rio) VF < EUR. k=1 Q 22. En déduire l'inégalité de Carleman. IIT Inégalité de Carleman-Yang Le but de cette dernière partie est d'établir l'inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l'inégalité de Carleman. IIT. A --- Un développement en série entière Soit & la fonction définie par VtEÏ]-LI[N {O0}, w(t)=(1-#)1#, (IIL.1) M055/2024-05-02 10:42:24 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA On définit aussi la suite (b,,),en par 1 I VnEN*, b,=----) ----b PEN On n > k+1 TE

Q 23.  Justifier que & est prolongeable par continuité en 0 et préciser la 
valeur de son prolongement en OC.

On notera toujours & ce prolongement.

Q 24.  Démontrer que, pour tout n dans N*, [b,| < 1. En déduire une inégalité sur le rayon de convergence de la série entière DD bt". k20 Q 25.  Démontrer que, pour tout t dans |--1,1{, w'(t) = w(t)W(t), où +00 VHE]-1,1L,  y(t) Dr (IIL.2) n=0 puis que, pour tout n dans N", Q 26.  Conclure alors que VtE ]---1,1| p(t)=e £ -- 5 ns) (IIL.3) k=1 ITI.B --- Démonstration de l'inégalité de Carleman- Yang Soit (a, }nenr EURt (Ch )nenr deux suites de réels strictement positifs. Q 27.  Démontrer que n=l \k=1 =] Le (n +1)" PU Dis tue Q 28. En considérant c,, -- --. en déduire l'inégalité de Carleman- Yang : n-- Ag < e 1 -- ---- la. D(Hn) CE)" Q 29.  Démontrer que, pour tout n dans N°, b,, > 0. En quoi l'inégalité 
précédente est-elle un raffinement de
l'inégalité de Carleman ?

eeoeFrINeee

Page 4/4 CITES

M055/2024-05-02 10:42:24