MATHÉMATIQUES II Filière MP
MATHÉMATIQUES ||
On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des
valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.
Notations : On désigne par Mat(n, IR) l'espace vectoriel des matrices carrées
d'ordre n à coefficients réels, par Sn(IR) le sous-espace des matrices symétri-
ques, par On(lR) le groupe des matrices orthogonales d'ordre n et par O,Ï(IR) le
groupe des matrices orthogonales directes (Le. dont le déterminant vaut 1 ).
On désigne par diag(ocl,...,ocn) la matrice diagonale d'ordre n :
oc1 0
La notation A = (ai, ]) signifie que la matrice A de Mat(n, ]R) a pour
coefficient
a en i-ème ligne et j -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de A sera
i,j n
notée 'A et la trace de A définie par Tr(A) : 2 au. .
i=1
Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème.
La partie Il traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter
soigneuse-
ment avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et
sert dans V.D -- .
Partie I - Une norme sur Mat(n, IR)
I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées (A, B) ,
( Tr(AB)) : Tr(BA) .
LB - Montrer que l'application
q> : Mat(n, IR) XMat(n, IR) _) IR, définie par : @(A, B) = Tr(A'B)
Concours Centrale-Supélec 2000 1/6
MATHÉMATIQUES II Filière MP
F...èreMP
est un produit scalaire ; calculer en particulier o(A, A). On note || Il la
norme
associée à @. Exprimer "All2 en fonction des (a- 1).
I. C- Montrer que pour toute matrice A-- _ (a
(; a...) En 2 2 ai].
i=1j=1
ij)ij de Mat(n, IR), on a:
En déduire la norme de l'application Tr : M at(n, IR) --> IR (norme subordonnée
à
la norme II Il ).
I. D- Soit Q un élément de O ,,.(IR) Montrer que pour toute matrice A,
UQAM: "All. Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B-- _ t'QAQ
est elle- -même symétrique et que l'on a, en notant (bi,j) les coefficients de
B .
2 Ëbi,j= E E"i.j°
i=1j=l i=1j=1
Partie II - Diagonalisation pour n = 2
Soient A une matrice de S2(IR) , et Q une matrice de 02(IR) définies par :
A : a1,1a1,2 , Q : cos(9) sin(6) _
a12 a2 2 --sin(6) cos(9)
On pose B-- _ Q--AQ _ (bij).
II.A - Calculer les termes de la matrice B .
II.B - Montrer que
2
Ebi,i+2 b2,1=zai,i+2a2,'l
i-- _ 1 i = 1
II.C - On suppose ici que a1'2 # 0 . Montrer qu'il existe un réel 9 appartenant
à
]--Ë, 0 [ u] O,Ë ] ,et un seul, tel que b2, 1 = 0 (penser à distinguer deux
cas).
Concours Centrale-Supélec 2000 2/6
MA THÉMA TIQUES II Filière MP
Définir la fonction F qui, à une matrice symétrique non diagonale de SZ(IR) ,
associe le réel 6 ainsi défini.
II.D - Montrer que pour ce choix de 6 , la matrice B est diagonale et que 51,1
et
b2, 2 sont les valeurs propres de A .
ILE - On donne
A=1112_
512--6
Calculer 9 : F(A) puis la matrice B . En déduire les éléments propres de A .
Partie III - Quelques résultats généraux
On définit, pour 6 réel, p et q entiers donnés (avec p0, anse IN, VkEUR IN, anEUR=>xke U B(awe),
u=1
où Boo
V.D.2) Montrer que les suites (Dk) et (Ak) convergent dans (Mat(IR, n),ll |!) et
dire en quoi l'algorithme ainsi défini permet d'obtenir une valeur approchée des
valeurs propres de A .
Partie VI - Étude d'un exemple pour n = 3
On donne ici
15 4 3
A = 4 6 12 , et on définit la suite Ak comme dans V -- .
312--1
VI.A - Déterminer 60 puis 90- Donner les valeurs rationnelles des coefficients
1
.
VI.B - Calculer de la même façon 61 , 821 et les coefficients (aÎË-) de A2.
VLC - Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A.
Observation ?
00. FIN 000
Concours Centrale--Supélec 2000 6/6
