Centrale Maths 2 MP 2003

 

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.....wa UËOEQ3OEI OEÈEQOEÜ m<3QUQDÜ Dans tout le texte, 1 désigne un intervalle de IR contenant au moins deux points et n est un entier strictement positif. On note %,,(IR) l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels et on désigne par E,,(I ) l'ensemble des applications de classe C1 de I dans %,,(IR) . Si Me E,,(I) , M' désigne la dérivée de M. Parmi les éléments de E,,(I ) , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent : (P1) : V(x,y)e 12, MMM(x>

(P2) : \7'xe I, M'(x)M(x) : M(x)M'(x)
On adopte les notations suivantes : I n désigne la matrice identité d'ordre n,
IR" l'espace vectoriel des vecteurs--colonnes à n lignes, O,,(IR) le groupe des
matrices orthogonales réelles d'ordre n et S O,,(1R) le sous-groupe des matrices
orthogonales réelles d'ordre n et de déterminant +1 ; Si M EUR %,,(IR) , on 
désigne
par M [i, j] le coefficient de M en position (i, j) lorsque 1 s i S n et 1 5 j 
5 n . Enfin,
on dit d'une matrice triangulaire de %,,(IR) qu'elle est stricte si elle a les 
coef--
ficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de %,,(IR) qu'elle est scalaire si
elle est proportionnelle à l'identité (M = Un , avec % & IR ).

Enfin, on rappelle que, si M est élément de %,,(IR), l'application de [R dans
%,,(IR) définie par

+°° k
(fl--> exp(tM) : 2 %Mk
k = o '
est un élément de E,,(IR) dont la dérivée est

tHMexp(tM) : exp(tM)M.

Partie I - Exemples élémentaires

I.A - .
I.A.1) Montrer que tout élément de En(l ) vérifiant (PI) vérifie (P2).

IA 2) Démontrer que si M est une application élément de E (I), alors pour
tout k & IN ,l'application Mk :x +--> M (x) est élément de E (I ) calculer sa 
déri-
Véé.

LA. 3) Démontrer que si M est une application élément de En(l ) , telle que
pour tout x e I la matrice M (x) est inversible, alors l'application
M'l: x +--+ M(xf1 est élément de En(l ) ; calculer sa dérivée.

I.B - Dans la suite de la Partie I, on prend 77. = 2 .
Un élément M de E2(I ) s'écrit pour x e I :

M... ={ a 1 "6 b(x) vérifiant (P2).
c(x) 1--9c2

Pour chaque élément de E2(]R) ainsi trouvé,

- dire s'il vérifie (PI),

- déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de % ,,(1R) engendré par
l'ensemble des M (x) , noté Vect{M (x), x & IR}.

I.C - Soit M un élément de E2(l ) tel que pour tout x e I , M (x) est la matrice

d'une réflexion.

1.0.1) Montrer qu'il existe une application 9 de classe C1 de I dans ]R telle
que la première colonne de M (x) soit

{ COS 9(x)] pour tout x e 1.
sin 9(x)

I.C.2) À quelle condition, portant sur la fonction 9, M vérifie--t--elle (P2) '?

On dit d'une application de I x%,,(IR) dans %,,(IR) qu'elle est de type (@ )
(abréviation pour quasi--polynomial) si elle est de la forme

(x, M) H 2 a,, Pk(x) Mk Qk(x)
k=0

où sont donnés

melN

a0,...,am de classe C0 de I dans IE

Po,-°°»Pm'Q0v-me de classe C0 de I dans %,,(IR)

On dira qu'une telle application est polynomiale si, de plus, les applications 
Pk
et Qk sont toutes constantes, égales à I n .

On admettra alors le théorème ÿ

Cauchy-Lipschitz :
a) Si F : I x%,,(lR)-->%,,(IR) est de type (Æ), et si (xO,U0)eIx%n(IR), 11
existe une unique solution maximale U de l'équation différentielle matricielle

suivant, qui est une version du théorème de

M'(x) : F(x, M(x)) , définie sur un intervalle J tel que x0 & JcI vérifiant de
plus U (xe) :

b) Si, en outre, E est un sous-espace vectoriel de %,,(IR) , si F(I >< E) c E et si er E,alors U(x)e E pour tout xe J. L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d'éventuelles équa- tions différentielles sont définies sur I tout entier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire. Partie II - Étude de cas particuliers II.A - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme (% ) : M'(x) : E ak(x)M2k+l(x). k=0 Déduire du théorème Y le résultat (9? ) suivant : si une solution U sur I de (g ) est telle que, pour une valeur 960 e I , U (360) est une matrice antisymétrique, alors U (x) est antisymétrique pour tout x e I. Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d'équation différentielle matricielle, mais de type (Æ ) pour laquelle le résultat (% ) soit conservé. II.B - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme M'(x) = 2 ak(x)Mk(x). k=0 Soit M une solution sur I et x0 & 1 tel que le polynôme caractéristique de M (xe) soit scindé. On choisit alors P & GLn(IR) et To & %,,(1R) triangulaire supérieure telles que M(xo) : PT0 P"1 H. B. 1) Former une équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par T: x 1--> P M (x) P permettant de montrer que T(x) est triangulaire supérieure
pour tout x EUR I.

II.B.2) On suppose en outre que T0 est triangulaire stricte. En considérant les
fonctions à valeurs réelles x +--> T(x)Ü i] avec 1 S i S n , donner une 
condition

nécessaire et suffisante sur la fonction "0 pour que T(x) soit triangulaire 
stricte
pour tout x e I .

II.B.3) Cette condition étant supposée remplie, on choisit re ]N* tel que
TG : 0 ; former une équation différentielle matricielle de type (Ê ) vérifiée 
par
x EUR I +--a Tr(x) permettant de montrer que l'application T est nulle.

II.C -

II.C.1) Soit U solution sur I de l'équation différentielle matricielle

mm = 2 ak Qk(x).
k = 0

On suppose qu'il existe x0 5 I tel que U (xo) commute avec toutes les matrices
Pk(x) et Qk(x) pour tout x e I . Montrer que U (x) commute avec U (xD) pour tout

xe].

II.C.2) Soit U une solution sur I d'une équation différentielle matricielle 
poly-
nomiale. Vérifie-t-elle (PI) , vérifie-t-elle (P2) ? Montrer que
dim(Vect{ U (x), x e I }) est inférieure ou égale à n .

II.D - Soit E un sous-espace vectoriel de %,,(IR) tel que
(M, N) e E2 => MN -- NM & E . En introduisant une équation différentielle matri-
cielle bien choisie, montrer que V(t, M, N) EUR I >< E2 , exp(tM )N exp(--tM ) e E . Partie III - Cas des matrices orthogonales III.A - On s'intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme (Ë') : M'(x) : a(x)(In--M2(x)), où a désigne une fonction donnée, de classe C0 de I dans IR. III.A.1) Si U est une solution sur I de (Ë') telle que (U (xD))2 : In (matrice d'une symétrie) pour un certain x0 & I , que peut-on dire de la fonction U '? III.A.2) Soit J e %,,(IR). On suppose qu'une solution U de (Ë') sur I vérifie tU(xO)JU(xO) : J pour un x0EUR I. On pose alors N(x) : 'U(x)JU(x) pour tout x e I . Former une équation différentielle matricielle de type (Æ ) vérifiée par N --J et en conclure que N (x) : J pour tout x e I . Si, en outre, J est inversible, montrer que l'application x +--> det(U(x)) est constante.

III.B - Dans toute cette section III.B, on choisit n = 3 . Soit U une matrice 
élé-
ment de E3(I ) à valeurs dans SO3(IR) vérifiant (P2) et telle que,
U (x) # 13

Vx & I , { .
--1 n'est pas valeur propre de U (x)

III.B.1)

a) Pour x0 EUR I fixé, on pose U 0 = U (xD) . Montrer qu'il existe un vecteur 
Zo uni--
taire dans IR3 euclidien canonique, tel que U 0% : Zo-

b) On choisit alors X 0 et Y0 tels que B = (X O,YO,ZO) soit une base 
orthonormale
directe de IR3 , on pose X : Y0+ZO et C : (X,U0X,UËX).

De quelle forme est la matrice dans B de l'endomorphisme de IR3 ayant U 0 pour
matrice dans la base canonique ? Calculer alors detB(C) en fonction des coeffi-
cients de cette matrice et en déduire que C est une base de IR3 .

c) En conclure qu'il existe trois fonctions u, v, w de I dans IR telles que
U'(x) : u(x)I3 + v(x)U(x) + w(x)U2(x) pour tout x e 1. On admettra que ces trois
fonctions sont continues. '

d) En exprimant la dérivée de "U U en fonction de u , v , w , "U + U , montrer 
que
U est solution d'une équation différentielle matricielle, notée ? , de la forme
(Ë') : on exprimera, à l'aide de certaines des fonctions u , v , w , la 
fonction a
correspondante.

HI.B.2) Transformer l'équation (% par le changement de matrice inconnue
défini par la formule : (13 + U (x))A(x) : I3 -- U (x) , en justifiant 
l'introduction de
A(x) .

Montrer que A est solution sur 1 d'une équation différentielle matricielle 
poly--

nomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de
U(x) pour tout x e 1.

111.0 - En s'inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de E3(IR) 
à
valeurs dans SO3(IR) vérifiant (P2) mais pas (PI).

III.D - Chercher la solution maximale U dans %fiIR) de l'équation différen-
tielle matricielle M'(x) : 12 + M2(x) , définie au voisinage de () et telle que

U(O)=(Ol].
10

Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme

xe I +---->U(x) : { a(x) b(x)J
b(x) a(x)

2

,

et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par u : b2--a
sachant que u(0) : 1 .

ooo FIN ooo