Centrale Maths 2 MP 2006

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OEËN omËQ:OE - OEOEÈOEQ oeÈooco0

On note 1R[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels
et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme asso-
ciée.

Pour tout entier naturel n , IRn[X ] est l'espace vectoriel réel des polynômes 
de
degré inférieur ou égal à n .

Pour un P de IR[X ] , on considère, de manière usuelle, les dérivées successives
de P : P(O' : P,et, pour tout n de IN, P(n+" : [P...] '. '

Pour un polynôme P de IR[X ] , un entier naturel n et un réel a , on définit le
polynôme de Taylor d'ordre n de P en a par :

_. n (i)
T,,,(P) = E'" .,(")

i=0

(X--a)'.

Soit une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle de IR et de 
classe
C" . On rappelle qu'elle admet, en tout point a de cet intervalle, un unique 
déve-
loppement limité à l'ordre n :

n

...
f(x)= 2f _'"--' Ef i!(a)(x--a)L}
i=0

est appelée partie régulière de ce développement limité.

Dans la troisième partie, on note %2 le plan affine euclidien usuel muni d'un
repère orthonormé 9Y0-- _ (0, i, j) et dans la dernière partie, on note %;,
l'espace affine euclidien usuel de dimension 3 muni d'un repère orthonormé,

encore noté @... (0, É, Î,.Ë)

Les éléments de %2 et 53 seront indifféremment appelés vecteurs ou points
selon l'interprétation que l'on en a.

n
Si M est barycentre du système pondéré (Ai'ai)1 . avec a = E a- non nul,
szsn '
on a : _ i: 1

M = â(ÊaiAi).

i=l

Chaque point M de 52 (ou de %3 ) est identifié àla famille de ses coordonnées
(x,y) (ou (x, y, z) ) dans le repère @@ , ce qui est contenu dans la notation 
M(x, y)
(ou M (x, y, z) ). De même chaque vecteur ii est identifié à la famille de ses 
coor--
données dans la base ÆO du repère % 0 .

Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes.

Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans
trois situations différentes.

Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les 
trois
dernières parties sont indépendantes les unes des autres.

Partie I - Une fonction polynomiale

Un calcul simple qui n'est pas demandé ici (intégrations par parties successives
par exemple) donne pour tout m de IN :

(m!)2

Im --f0t (l--t) dt-- ZîÏÏL+--1)l.

Pour tout m entier naturel non nul, on considère la fonction polynomiale Lm
définie sur [R par :

Lm(x) : Ilfgtm(1--t)mdt.
m

I.A -

I.A.1) Donner une expression développée de Lm(x) pour m = 1 et pour
m = 2 .

I.A.2) Calculer Lm(x) + Lm(1 --x) pour tout x de IR. Préciser Lm(â) .
On vérifie que Lm est à coefficients entiers. Nous l'admettr0ns.

LB -

I.B.l) Étudier suivant m l'existence ainsi que l'ordre de multiplicité des
éventuelles racines de Lm et de L'm dans l'intervalle [0,1].

I.B.2) En considérant le signe de L';n (x) , étudier la monotonie de l'applica--
tion
Lm(x)

x

[x r--> ] sur l'intervalle ]O, â[ .

I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de Lm sur [0,1] . On pré--
cisera les points à tangente horizontale, on montrera l'existence d'un centre de
symétrie et on précisera la convexité.

I.C - Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie.
I.C.1) Résoudre le système :

{ (x,y> & [0,112
L'm = L'm 

I.C.2) Résoudre le système :

(a, me {0,113
a+|3+y =1

L'm(0t) = L'...(B) = LÇn(Y)
I.C.3) Résoudre le système :
(al,a2,a3,a'4)E[0,l]4
al+a2+a3+a4 =1
_fL'm(a1) = L'm(0!2) = L'...(a3) = L;n(a4)

Partie II - Les polynômes de Taylor

Dans cette partie, m est un entier naturel non nul et n est un entier tel que
n > 3m .

II.A -

On rappelle et on admet que, pour tout a de IR , la famille ((X -- a)p ) p @ m 
est une
base de IR[X ].

Vérifier que l'application [P |----> Tn'a(P)] définit un projecteur de IR[X ] .

Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de IR[X ] et en donner 
un
générateur.

II.B - Pour (R,S) de (IRm[X])2 , déterminer les polynômes de Taylor d'ordre m
en 0 et en 1 du polynôme :

U(X) : R(X)Lm(l --X)+S(X)L X).

m(

II.C - Pour P de ]Rn[X ] , on note respectivement Po et P1 ses polynômes de Tay-
lor d'ordre m en 0 et en 1 et on pose :

[®(P)](X) = POL...(1 -- X) + P,(X>Lm .

'

II.C.1) . Montrer que l'application [P |----> CD(P)] est un projecteur de IRn[X 
] .

II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application
et donner pour chacun une base.

Partie III - Un raccord

III.A -

III.A.1)

À l'aide de la première partie, déterminer un polynôme Ql tel que :
deg(Ql)s3, Q1(--1) = 0, Q]... = 1,EURt Q'1(--1)= Q'; (1) = 0-

Existe-t-il d'autres polynômes remplissant ces cinq conditions ?

III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un poly-
nôme Q2 tel que :

deg(Q2)55
Q2("1)= O, Q2(1) :]
Q,2(_1) =VQ,2(1) : Q"2("1) : Q"2(1) : O

III.B - Soient g1 : t1----> (x](t), y,(t)) de classe C ' sur ]--oo,--l ] , 
paramétrage d'un
arc Y] et g2 : t+--> (x2(t), y2(t)) de classe C1 sur [1,+oo[ , paramétrage d'un 
arc y2.

Si h] est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x] en --1 
et
h2 la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x2 en 1 , on pose 
:

x3(t) = Q|(_t)hl(t)+Ql(t)hg(t)--

De même, si k! est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de yl
en --1 et si k_,_ est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 
de y2
en 1 , on pose :

y3(t) = Q;(--t)kl(t)+Ql(t)k2(t)-

On obtient ainsi une fonction vectorielle g3 : (x3,y3) et on considère y , 
raccord
de Y] et y2 , l'arc paramétré par g avec :

g,(t) sitE]_oe,_1[
g(t)= g3(t) si tEUR[--l,l]
g2(t) sitEUR]l,+oe[

Montrer brièvement en S'appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie
que g est de classe C ' sur IR.

III.C - Étude d'un exemple

Ici a est un réel strictement positif et on prend :
gl(t) : (-- 1 +a(t+ l), 1 --a(t+ l))
{g2(t) =(1+a(t--l),l+a(t--l))

III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs Y1 et M .

III.C.2) Donner l'expression développée de la fonction & (on ne demande pas
sa représentation graphique).

III.C.3) Montrer que pour a > 3 , le raccord coupe l'axe des ordonnées en deux
points distincts que l'on précisera.

Partie IV - Une animation
Onnote I : {1,2,3,4}.

On considère un ensemble de quatre points {Al, A2, A3, A4} de 53 non copla-
naires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de plan affine qui les contienne tous 
les qua-
tre. On a ainsi un tétraèdre non aplati A1A2A3A 4 .

On note (xi, y,, Zi) le triplet des coordonnées du point Ai pour ie I .

IV.A- .
IV.A.1) Soit i dans I . Justifier" l'existence d'un (ui,vi,wi,hi) de IR4 avec
(ui, vi, wi) : (O, O, 0) tel que si l'on pose pour M(x, y, z) de 53 ,

{gl--(M) : uix+viy+wiz+hi,on ait: VjEI, gi(AJ-) : ôi,j .

(où de manière usuelle, ôi, j vaut 1" si i = j et vaut 0 sinon).
On admet l'unicité du quadruplet (u,-, v,, wi, hi) pour tout i dans I .
IV.A.2) Pour i dans 1 on considère cpi la forme linéaire de IR3 définie par :

V(x, y, 2) EUR IR3 , cpi(x, y, z) : uix + viy + wiz .

Quel est le rang de la famille (cpi) '?

Isis4

Soit m EUR IN* .
Pour tout i dans 1 et tout M(x, y, 2) de êî , on pose : GAM) = Lm(gi(M)).
On considère alors :

On appelle Q l'isobarycentre de {Al, A2, A3, A4}.
On note A = {M(x, y, z)E êî|Viel,oSgi(M) s 1}

IV.B-

IV.B.1) Préciser g(Ai) pour i dans I et en déduire g.

IV.B.2) Vérifier que tout point M de %3 est le barycentre du système
pondéré (Ai,gi(M))

IV.B.3) Déterminer on de IR tel que pour tout point M de toute arête [Al--,Aj]
avec (i,j)EURI', i#j on ait G(M) : a.

IV.C -
IV.C.1) Montrer que A est un compact de gg .

lsis4'

IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, G admet un maximum et
un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où
ils sont atteints.

On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non
alignés d'un plan est l'ensemble des barycentres [1 poids positifs des sommets 
du
triangle et que l'on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à 1 
.

IV.C.3) Calculer G(Q) et déterminer la différentielle de G en 9.

IV.C.4) Déterminer les points M de A en lesquels la différentielle de G est
nulle.

On pourra montrer que la nullité de la différentielle de G en un point M impli-

que une relation linéaire portant sur les cpi et on utilisera dans ce cas le 
résultat
de IV.A.2.

IV.C.5) Montrer que la fonction G admet sur A un maximum et un minimum
et déterminer ces extremums Gmin et Gmax de G sur A ainsi que les points où ils
sont atteints.

IV.D - On prend A1(1,--1,--1), A2(--1,1,--1), A3(--1,--1, 1) et A4(1,1,1).
Pour m = 1 , on obtient, après un calcul qui n'est pas demandé :

G(x, y, z) : â[3(x2+y2+22--2xy2) +5] .

On appelle 2 la surface d'équation G(x, y, z) = 1 .

On considère Ë(O, JË) la boule fermée de centre O et de rayon JË pour la norme
euclidienne sur IR3 et l'on note S(O, JË) sa frontière, la sphère de centre O 
et de

rayon JË .

On admet que pour tout point M(x, y, 2) de S(O, JË) , on a lxyzl s 1 . (Ceci 
peut se
démontrer en utilisant les coordonnées sphériques de M ).

IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de 2 .

IV.D.2) Montrer que pour tout P(a, b, c) de S(O, JË) , il existe un et un seul 
point
du segment [OP] qui appartienne à 2 .

On pourra étudier la fonction h(t) : G(t'a, tb, tc) sur [0,1].

IV.D.3) Qu'en déduit-on pour l'intersection E' de 2 avec Ë(O, JË) ? On préci-

sera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi 
qu'avec la
sphère S(O, JË).

IV.D.4) Préciser les sections de E et de Ë(O, JË) par le plan médiateur de
[A3,A4] , d'équation x + y = O . Les représenter sur une même figure.

IV.D.5) Décrire l'animation que donne la vue des surfaces de niveau :
Sa : {(MEA)/G(M) : oc} lorsque oc varie de Gmi
On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.

& Gmax '

n

loco FIN ooo