Centrale Maths 2 MP 2012

MP
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 2

Ce sujet est divisé en trois parties. La partie III est indépendante des deux 
premières (même si les parties II et
III ont en commun de s'intéresser à des matrices dites de Hankel).
Il est attendu des candidat(e)s qu'ils fassent preuve de qualités de rédaction, 
de clarté et de présentation.
Notations
Dans tout le problème, K désigne indifféremment R ou C.
On note KN l'espace vectoriel des suites à valeurs dans K.
Pour tout espace vectoriel E sur K, on note L(E) l'algèbre des endomorphismes 
de E.
On note  l'élément de L(KN ) qui à tout x = (xn )nN de KN associe y = (yn )nN 
dans KN de terme général
yn = xn+1 .
On note K[X] l'algèbre des polynômes à coefficients dans K, et Km [X] le 
sous-espace vectoriel de K[X] formé
des polynômes de degré inférieur ou égal à m.
On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire si le coefficient de son 
monôme de plus haut degré vaut 1.
On note Mn (K) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.
Si M est une matrice carrée, on note t M sa transposée et tr(M ) sa trace.
On note Sn (R) l'ensemble des matrices carrées symétriques d'ordre n à 
coefficients réels.
Rappels sur les polynômes d'endomorphisme
On effectue ici quelques rappels utiles sur les polynômes d'endomorphisme d'un 
espace vectoriel.
Soit E un espace vectoriel sur K. On note Id l'endomorphisme identité de E.
p
p
Ø
Ø
ak f k (avec la convention f 0 = Id).
Pour tout f de L(E), et tout A =
ak X k de K[X], on note A(f ) =
k=0

k=0

Pour tout f de L(E), l'application A Ô A(f ) est alors un morphisme d'algèbres 
de K[X] dans L(E).
Rappelons que cela signifie que, pour tous A, B de K[X] et pour tous scalaires 
,  de K, on a :
- (A + B)(f ) = A(f ) + B(f ) ;
- si A = 1, alors A(f ) = Id ;
- (AB)(f ) = A(f )  B(f ) = B(f )  A(f ).
Cas particulier (utile dans la suite du problème) :
p
p
Ø
Ø
- Si E = KN , f =  et A =
ak X k , alors A() =
ak  k .
k=0

k=0

- Pour tout x de KN , y = A()(x) est donc la suite de terme général yn =

p
Ø

ak xn+k .

k=0

I Suites récurrentes linéaires
Soit p un entier naturel.
On dit qu'un élément x de KN est une suite récurrente linéaire (en abrégé une 
srl) d'ordre p > 0 s'il existe un
p
Ø
polynôme A =
ak X k dans K[X] de degré p, tel que A()(x) soit la suite nulle, c'est-à-dire 
si :
k=0

n  N

p
Ø

ak xn+k = ap xn+p + ap-1 xn+p-1 + · · · + a1 xn+1 + a0 xn = 0

(I.1)

k=0

On dit que la relation I.1 (dans laquelle, rappelons-le, ap est non nul) est 
une relation de récurrence linéaire
d'ordre p, dont A est un polynôme caractéristique.
L'ensemble des suites x de KN qui obéissent à I.1 est noté RA (K).
On note R(K) l'ensemble de toutes les suites récurrentes linéaires, quel que 
soit leur ordre (autrement dit, R(K)
est la réunion des RA (K) pour tous les polynômes A non nuls dans K[X]).
I.A ­
Ordre (et polynôme) minimal d'une suite récurrente linéaire
Soit x une suite récurrente linéaire.
2 avril 2012 17:21

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Montrer que l'ensemble Jx des polynômes A tels que A()(x) = 0 est un idéal de 
K[X], non réduit à {0}.
On rappelle qu'il en résulte deux choses :
- d'une part, il existe dans Jx un unique polynôme unitaire B de degré minimal ;
- d'autre part, les éléments de Jx sont les multiples de B.
Par définition, on dit que B est le polynôme minimal de la suite x, que le 
degré de B est l'ordre minimal de x,
et que la relation B()(x) = 0 est la relation de récurrence minimale de x.
I.B ­

Quelques exemples

I.B.1) Dans KN , quelles sont les suites récurrentes linéaires d'ordre 0 ? 
d'ordre 1 ?
Quelles sont les suites de KN dont le polynôme minimal est (X - 1)2 ?
I.B.2) On considère la suite x définie par x0 = 0, x1 = -1, x2 = 2 et par la 
relation de récurrence linéaire
d'ordre 3 : n  N, xn+3 = -3xn+2 - 3xn+1 - xn .
Déterminer le polynôme minimal (et donc l'ordre minimal) de la suite x.
I.C ­

L'espace vectoriel RA (K) et deux cas particuliers
p
Ø
Soit A =
ak X k un élément de K[X], de degré p > 0, que sans perdre de généralité on 
suppose unitaire.
k=0

I.C.1) Prouver que RA (K) est un sous-espace vectoriel de dimension p de KN et 
qu'il est stable par  (on ne
demande pas ici de déterminer une base de RA (K), car c'est l'objet des 
questions suivantes).
I.C.2) Déterminer RA (K) quand A = X p (avec p > 1) et en donner une base.
I.C.3) Dans cette question, on suppose p > 1 et A = (X - )p , avec  dans K .
On note EA (K) l'ensemble des x de KN de terme général xn = Q(n)n , où Q est 
dans Kp-1 [X].
a) Montrer que EA (K) est un sous-espace vectoriel de KN dont on précisera la 
dimension.
b) Montrer l'égalité RA (K) = EA (K).
I.D ­
Étude de RA (K) quand A est scindé sur K
Dans cette question, on suppose que le polynôme A est scindé sur K.
d
Ù
Plus précisément, on note A = X m0
(X - k )mk , où :
k=1

- les scalaires 1 , 2 , . . . , d sont les racines non nulles distinctes 
éventuelles de A dans K, et m1 , m2 , . . . , md
sont leurs multiplicités respectives (supérieures ou égales à 1). Si A n'a pas 
de racine non nulle, on convient
d
Ù
que d = 0 et que
(X - k )mk = 1 ;
k=1

- l'entier m0 est la multiplicité de 0 comme racine éventuelle de A. Si 0 n'est 
pas racine de A, on adopte la
convention m0 = 0.
d
Ø
mk = deg A = p.
Avec ces notations, on a
k=0

En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, montrer que RA (K) est 
l'ensemble des suites x = (xn )n>0
de KN telles que :
n > m0 , xn =

d
Ø

Qk (n) nk

k=1

où, pour tout k de {1, . . . , d}, Qk est dans K[X] avec deg Qk < mk . d Ø Remarque : si d = 0, la somme Qk (n) nk est par convention égale à 0. k=1 II Matrices de Hankel associées à une suite récurrente linéaire Soit x dans KN . Pour tout entier n de N , on note Hn (x) la matrice de Mn (K) définie par (i, j)  {1, . . . , n}2 , [Hn (x)]i,j = xi+j-2 x0 x1 x2 x3 x2 x1 x2 x3 x4 x0 x1 On a par exemple H2 (x) = x3  et H4 (x) = x2 x3 x4 x5 . x1 x2 x4 x3 x4 x5 x6 n On identifie toute matrice de Mn (K) avec l'endomorphisme de K qui lui est associé dans la base canonique. On identifie de même tout élément de Kn avec la matrice-colonne qui lui correspond. 3 2 avril 2012 17:21 4 x0 , H3 (x) =  x1 x2 x1 x2 x3 Page 2/4 II.A ­ Calcul du rang de Hn (x) quand x est une suite récurrente linéaire Dans cette section, x est une suite récurrente linéaire d'ordre minimal p > 1 
et de polynôme minimal B.
II.A.1) Montrer que la famille ( k (x))06k6p-1 est une base de RB (K).
En déduire, pour tout n de N , le rang de la famille ( k (x))06k6n-1 .
;
RB (K)  Kn
est injective.
II.A.2) Montrer que si n > p, l'application n :
v Ô (v0 , . . . , vn-1 )
En déduire que si n > p, alors rang(Hn (x)) = p.
Remarque : il est clair que ce résultat reste vrai si p = 0 (car la suite x et 
les matrices Hn (x) sont nulles).
II.B ­ Détermination de la récurrence minimale d'une suite récurrente linéaire
Soit x une suite récurrente linéaire non nulle, d'ordre m > 1. Soit p = rang(Hm 
(x)).
II.B.1) Montrer que x est d'ordre minimal p et que le noyau de Hp+1 (x) est une 
droite vectorielle dont un
vecteur directeur peut s'écrire (b0 , . . . , bp-1 , 1), où b0 , . . . , bp-1 
sont dans K.
II.B.2) Avec ces notations, montrer que le polynôme minimal de x est B = X p + 
bp-1 X p-1 + · · · + b1 X + b0 .
II.C ­ Étude d'un exemple
Dans cette question, on considère la suite x = (xn )n>0 définie par
x0 = 1,

x1 = 1,

x2 = 1,

x3 = 0,

et

 n  N, xn+4 = xn+3 - 2 xn+1

II.C.1) Dans le langage informatique de votre choix (que vous préciserez), 
écrire une procédure (ou fonction)
de paramètre un entier naturel n et renvoyant la liste (ou la séquence, ou le 
vecteur) des xk pour 0 6 k 6 n.
II.C.2) Préciser le rang de Hn (x) pour tout entier n de N et indiquer l'ordre 
minimal de la suite x.
II.C.3) Déterminer la relation de récurrence minimale de la suite x.
II.C.4) Donner une formule permettant pour tout n > 1 de calculer directement 
xn .
II.C.5) On décide de modifier uniquement la valeur de x0 , en posant cette fois 
x0 =

1
.
2

Avec cette modification, reprendre rapidement l'étude des questions II.C.2 et 
II.C.3.

III Valeurs propres des matrices de Hankel réelles
Dans toute cette partie, n désigne un entier supérieur ou égal à 3.
On note p = [(n + 1)/2] la partie entière de (n + 1)/2.
On a donc n = 2p si n est pair, et n = 2p - 1 si n est impair.
Rn est muni de sa structure euclidienne canonique dont le produit scalaire est 
noté é·, ·ê et la norme associée
est notée ë · ë.
Un élément de x = (x1 , . . . , xn ) de Rn est dit ordonné s'il vérifie si x1 > 
x2 > . . . > xn .
On dit qu'une matrice M = (mi,j )16i,j6n de Mn (R) est une matrice de Hankel 
s'il existe a = (a0 , . . . , a2n-2 ) 
R2n-1 tel que pour tous i et j de {1, . . . , n}, mi,j = ai+j-2 . Une telle 
matrice est notée M = H(a).
III.A ­ Préliminaires
III.A.1) Montrer que si M est une matrice de Hankel de taille n alors elle 
admet n valeurs propres réelles
1 , . . . , n (chacune étant répétée autant de fois que sa multiplicité) que 
l'on peut classer dans l'ordre décroissant
 1 >  2 > . . . > n .
On note alors Spo(M ) = (1 , . . . , n ) le spectre ordonné de la matrice M , 
c'est-à-dire le n-uplet ordonné des
valeurs propres de M .
On s'intéresse au problème suivant : à quelles conditions un n-uplet ordonné de 
réels peut-il être le n-uplet
ordonné des valeurs propres d'une matrice de Hankel de taille n ?
III.A.2) Montrer que si   R alors le n-uplet (, . . . , ) n'est pas le n-uplet 
ordonné des valeurs propres
d'une matrice de Hankel de taille n.
III.B ­ Une première condition nécessaire
Soit a = (a0 , . . . , a2n-2 ) un élément de R2n-1 et M = H(a). On note Spo(M ) 
= (1 , . . . , n ).
On définit deux vecteurs v = (v1 , . . . , vn ) et w = (w1 , . . . , wn ) de Rn 
par

1

si i  {1, . . . , p}
 vi = 2i - 1 a2(i-1) et wi = 
2i - 1

1

 vi = 2n - 2i + 1 a2(i-1) et wi = 
si i  {p + 1, . . . , n}
2n - 2i + 1

On pose enfin Kn = n - ëwë2 .
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III.B.1) Montrer que
n
Ø

i =

i=1

n-1
Ø

a2k

n
Ø

et

i=1

k=0

III.B.2) Montrer que év, wê =

n
Ø

i et ëvë2 6

Ø

n-1
Ø

(k + 1) a2k +

k=0

n
Ø

2n-2
Ø

(2n - k - 1) a2k

k=n

2i .

i=1

i=1

III.B.3) Montrer que

2i =

(i - j )2 = n

n
Ø

2i - év, wê2 et en déduire l'inégalité :

i=1

16i Kn

n
Ø

2i

(III.1)

i=1

16i 3(1 2 + 1 3 + 2 3 ).
III.C ­ D'autres conditions nécessaires
Dans cette partie, on admet le résultat suivant : si A et B sont deux matrices 
de Sn (R) dont les valeurs propres
respectives (avec répétitions éventuelles) sont 1 > . . . > n et 1 > . . . > n 
alors
n
Ø

i n+1-i 6 tr(AB) 6

n
Ø

i i

(III.2)

i=1

i=1

Soit B = (bi,j )16i,j6n la matrice de Mn (R) définie par
b1,2p-1 = 1

b2p-1,1 = 1

bp,p = -2

tous les autres coefficients de B étant nuls (on rappelle que p désigne la 
partie entière de (n + 1)/2).
III.C.1) Déterminer le spectre ordonné de la matrice B.
III.C.2) Soit a = (a0 , . . . , a2n-2 ) un élément de R2n-1 et M = H(a).
On note Spo(M ) = (1 , . . . , n ).
Établir que
1 - n-1 - 2n > 0

et

21 + 2 - n > 0

(III.3)

III.D ­ Cas n = 3
Soient 1 , 2 , 3 trois réels vérifiant
1 > 2 >  3

1 - 2 - 23 > 0
21 + 2 - 3 > 0

a b c
On définit la matrice de Hankel M = H(a, b, c, b, a) =  b c b , où a, b, c sont 
réels.
c b a
III.D.1) Calculer les valeurs propres de M (sans chercher à les ordonner).
III.D.2) Expliciter a, b, c (avec b > 0) en fonction de 1 , 2 , 3 , de telle 
sorte que Spo(M ) = (1 , 2 , 3 ).
III.D.3) Que peut-on déduire du résultat précédent, quant à la condition III.3 
dans le cas n = 3 ?
En utilisant un triplet ordonné (, 1, 1), montrer que pour n = 3, la condition 
III.1 n'est pas suffisante.
· · · FIN · · ·

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