Centrale Maths 2 MP 2013

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Mathématiques 2

(

MP

Calculatrices autorisées

2013

4 heures

Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.

On note :

-- MAR) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients 
réels ;

-- GLAR) le groupe des matrices inversibles de MAR) ;

-- O(n) le groupe orthogonal d'ordre n ;

-- 5,Ï[ (R), respectivement S,Î+(R), l'ensemble des matrices symétriques de 
MAR) dont les valeurs propres
sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;

-- I.,, la matrice identité de MAR) ;

-- On la matrice nulle de MAR).

Pour toute matrice M de MAR), on note "M sa matrice transposée, Tr(M) sa trace, 
et, pour (i, ]) EUR {1, . . ., n}2,

m,, le coefficient qui se trouve à l'intersection de la i--ème ligne et de la 
j--ème colonne. On munit MAR) de la

norme définie, pour tout M EUR MAR), par HMH : sup(lm;fl, (75,3) EUR {1, . . 
.,n}2).

I Décomposition polaire d'un endomorphisme de R'"1

I.A --
I.A.1)

On munit R'" de sa structure euclidienne canonique.

Soit u un endomorphisme de R'". Montrer que u est autoadjoint défini positif si 
et seulement si sa

matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient a S,Î+(R).

I.A.2)

I.B --

démontrer qu'il existe un unique endomorphisme @ de R'" autoadjoint, défini 
positif, tel que @

1.3.1)

Montrer que si S E S,Î+(R), alors S est inversible et S _1 EUR S,Î+(R).

Dans cette question, u désigne un endomorphisme de R'" autoadjoint défini 
positif. On se propose de

2=u.

Soit @ un endomorphisme de R'", autoadjoint défini positif et vérifiant v2 = u, 
et soit À une valeur

propre de u. Montrer que @ induit un endomorphisme de Ker(u -- Àld) que l'on 
déterminera.

1.3.2)
1.3.3)

10 --
1.0.1)
1.0.2)

1.0.3)

I.D --

1.3.1)
1.3.2)
1.3.3)
1.3.4)

En déduire @, puis conclure.

Montrer qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que @ : Q(u).

Soit A E GLAR).

Montrer que tAA EUR S,Î+(R).

En déduire qu'il existe un unique couple (O, S) E O(n) >< S,Î+(R) tel que A : OS. 3 0 --1 \Æ/2 3<Æ --3fl/2 --fl/2 3fl 3fl/2 Déterminer les matrices O et S lorsque A : Montrer que O(n) est une partie compacte de MAR). Montrer que 5,Ï[ (R) est un fermé de MAR). Montrer que GLAR) est une partie dense de MAR). Soit A E MAR). Montrer qu'il existe un couple (O,S) EUR O(n) >< 5,Ï[(R) tel que A : OS. Un tel couple est--il unique ? I.E -- Soit @ l'application de O(n) >< S,Î+(R) dans GLAR) définie par g0(O, S) : OS pour tout couple (O, S) de O(n) >< S,Î+(R). Montrer que ;p est bijective, continue et que sa réciproque est continue. 2013--04--16 14:02:51 Page 1/3 @c_ II Deux applications II.A -- Première application Dans cette partie, A et B désignent deux matrices de M,,(R). On suppose qu'il existe_ une matrice U carrée de taille n, inversible, à coefficients complexes, telle que U tU : I,, et A = U BU _1, où U désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de U . II.A.1) Justifier que % : U(ÈB)U_1. II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice P E GL,,(R) telle que A : PBP_1 et 7'A = P tBP_1. Pour cela, on note X et Y les matrices de M,,(R) telles que U = X + iY. a) Montrer qu'il existe ,a E R tel que X + ,uY EUR GLn(R). b) Montrer que AX : XB et AY : YB. c) Oonclure. II.A.3) On écrit P sous la forme P : OS, avec 0 EUR O(n) et S E 5,Ï+(R). a) Montrer que BS2 : SZB, puis que BS : SB. b) En déduire qu'il existe 0 EUR O(n) tel que A : OB'O. II.B -- Seconde application Soit A E MAR). On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution X EUR GL,,(R) au système ... _ tAA + tXX : I,, ' ÈAX -- tXA = O., II.B.1) Montrer que si le système (*) admet une solution dans GL,,(R), alors les valeurs propres de "AA appartiennent a l'intervalle [0,1[. II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de "AA appartiennent a l'intervalle [O, 1[. a) Justifier que l'on peut chercher les solutions X de (>k) sous la forme X = U 
H , avec U E O(n) et H E S,Î+(R).
b) Déterminer H .

c) Montrer l'existence d'une solution X EUR GL,,(R) de (*) appartenant à 
GL,,(R).

III Valeurs propres d'une matrice

Pour 19 E N*, on pose

{ 2 --1 0 0\
--1 2 --1 '- S
A,,= () _1 2 () EURMp(R)
--1
K 0 0 --1 2)

On note Pp le polynôme tel que, pour tout réel oe, P,,(oe) : det(acIp -- Ap).

III .A -- Montrer qu'à 515 E R fixé, la suite (Pp(oe))peN* vérifie une relation 
linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.

III.B -- Soit 515 E R tel que \2--oel < 2. Après avoirjustifié l'existence d'un unique 9 EUR ]0, 7T[ tel que 2--oe : 2 cos6', déterminer P,,(oe) en fonction de sin((p + 1)9) et de sin(9). III. C' -- Déterminer les valeurs propres de Ap. III .D -- Montrer que Ap est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée. 2013-04--16 14:02:51 Page 2/3 @C) BY-NC-SA IV Soit f une forme linéaire sur MAR). IV.A -- Montrer qu'il existe une unique matrice A E MAR) telle que VM EUR MAR), f(M) : Tr(AM). Dans la suite, A désigne la matrice définie dans cette question IV.A. IV.B -- IV.B.1) Justifier l'existence de Mn : sup({f(O), 0 EUR O(n)}). IV.B.2) Justifier que tAA admet n valeurs propres positives ..., . . ., ,a... oomptées avec multiplicités. IV.B.3) Montrer que Mn : sup({Tr(DQ),Q EUR O(n)}), où D est la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont , /,ul, . . ., , /,un. IV.B.4) En déduire que Mn : ZZ=1 ,/,u;,. IV. C' -- Dans cette question, f désigne la forme linéaire définie par VM EUR MAR), f (M ) : ;"=1 ZÎ=j m,,j. IV.C.1) Déterminer la matrice A telle que VM EUR MAR), f(M) : Tr(AM). IV.C.2) Montrer que 1 --1 0 0\ {0 1 --1 E A--1= 1 0 t.; .I: {, î) IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de A_1 tA_1. 1 k7r n+1 IV.C.4) Montrer que Mn : î: k=1 2 cos 2 IV.C.5) Donner un équivalent de Mn lorsque n tend vers +oo. oooFINooo 2013-04--16 14:02:51 Page 3/3 @C) BY-NC-SA