Centrale Maths 2 MP 2015

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%, FI
_/ MPQ

cunnnuns EENTHHLE-SUPELEE 4 heures Calculatrices autorisées N
Autour des sommes d 'Euler
D t tl bl' t rt tntir >1H Î1 1+1+ +1
m n n = _ = _ _.
ans ou eproee,o oepou oue en/, n k=1k 2 n
+00 1
On note EUR la fonction définie pour a: > 1 par Ç(x) : n--æ.
n=1
Le but du problème est d'étudier des séries faisant intervenir la suite (En) et 
notamment d'obtenir une relation
+oo
H
due a Euler qui exprime, pour r entier naturel supérieur ou égal à 2, Z 
(n+--n1)7' à l'aide de valeurs de la
n=1

fonction EUR en des points entiers.

I Représentation intégrale de sommes de séries

I.A --

1 " dt
I.A.1) Justifier que la série de terme général a = -- -- -- converge.
" n 1 t

I.A.2) Montrer qu'il existe une constante réelle A telle que Hn : Inn + A+ 
0(1). En déduire que Hn ... ln n.

+oo
I.B -- Soit r un entier naturel.

H
" T est--elle convergente ?

Pour quelles valeurs de 7°, la série 2 W

7121

+00 H
Dans toute la suite on notera S,. : î: "

_ lorsque la série converge.
n=1 (n + 1)T

I.C--

I.C.1) Donner sans démonstration les développements en série entière des 
fonctions t |--> ln(1--t) et t |--> 1_t
ainsi que leur rayon de convergence.

I.C.2) En déduire que la fonction

_ln(1 -- t)

t|-->
1--t

est développable en série entière sur ]--1,1[ et préciser son développement en 
série entière à l'aide des réels Hn.
I.D -- Pour tout couple d'entiers naturels ( ,q) et pour tout 5 EUR ]0, 1[, on 
note

7q

1 1
Ip7q=/0 t'"(lnt)th et [; :] tp(lnt)th
EUR

I.D.1) Montrer que l'intégrale Ip7q existe pour tout couple d'entiers naturels 
( q).

ID 2) Montrer ue v e N v 5 IN* Vae ]0 1[ [EUR -- q 15 8p+1(ln8)q
. . q 7 P 7q : 77 p,q_ p+1qu--1 p+1
I.D.3) En déduire que l'on a Vp EUR N,Vq EUR IN*, Ip7q : _Ëlp'q_l'
I.D.4) En déduire une expression de I...] en fonction des entiers p et q.
I .E -- Soit 7" un entier naturel non nul et f une fonction développable en 
série entière sur ]--1,1[.

+00
(1
On suppose que pour tout a: dans ]--1,1[, f (ac) = Zanoe" et que î: @ converge 
absolument.
n=0 >O

1 +00
Montrer que / (lnt)f_1f(t) dt : (--1)T_1(r _ 1)! 2 ... în1)r'
0 n=0

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I.F --

I.F.1) Déduire des questions précédentes que pour tout entier 7" > 2,

_+°° Hn _ (-1)r 1 T_ln(1--t)
&--ËOETÜ_n--mÂOEOE1ÎÎÎOE

I.F.2) Établir que l'on a alors ST =

(--1)'" /1 (lnt)T'2(ln(1 --t))2 dt.
0

2(r -- 2)! t
1 1 1 2
LES) En déduire que 52 = 5/ (1n_t)t dt
0

puis trouver la valeur de 52 en fonction de Ç(3).

II La fonction 5

II.A -- La fonction 1"
II.A.1) Soit 93 > 0. Montrer que t i--> tac--le_t est intégrable sur ]0, +oo[.

+oo
Dans toute la suite, on notera 1" la fonction définie sur [R+* par P(oe) = / 
tac--le"t dt.
0

On admettra que l" est de classe EUR°° sur son ensemble de définition, à 
valeurs strictement positives et qu'elle
vérifie, pour tout réel 9: > 0, la relation l"(oe + 1) = xF(oe).

+oo
II.A.2) Soit 93 et 04 deux réels strictement positifs. Justifier l'existence de 
/ t""_16_'Mt dt et donner sa valeur
0

en fonction de F(oe) et of".

II.B -- La fonction fl et son équation fonctionnelle
1
Pour (oe,y) dans ([R+*)2, on définit fl(oe, y) = / tæ_1(1 --t)ïy--1 dt.
0
II.B.1) Justifier l'existence de fl(oe, y) pour a: > 0 et y > O.

II.B.2) Montrer que pour tous réels m > 0 et y > O, fl(oe, y) = fl(y,x).

II.B.3) Soient 95 > 0 et y > O. Établir que fl(oe + 1,31) = 33 î yfl(oe, y)
, . 93?!
II.B.4 En dedu1re e our :c > O, > 0, a: + 1, + 1 = _ oe, .
) qu p y fl( y ) (oe+y)(oe+y+1)fl( 31)
11.0 -- Relation entre la fonction fl et la fonction 1"
P(OE)F(y)

On veut montrer que pour a: > 0 et y > O, fl(oe,y) = relation qui sera notée 
(53).

F(oe + y)
II.C.1) Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation (5?) pour :c > 1 et 
y > 1.
Dans toute la suite de cette question on suppose a: > 1 et y > 1.

+00 uOE--1
II.C.2) Montrer que ,B(OE,y) : Â W du
On pourra utiliser le changement de variable t = u .
1 + u

II.C.3) On note Fæ7y la primitive sur [R+ de t i--> e_ttg"+y'1 qui s'annule en 
0. Montrer que

WGRñF w+oo
II.C.6) Montrer que G est de classe 81 sur tout segment [c, d] inclus dans 
[R+*, puis que G est de classe 81
sur [R+*.

II.C.7) Exprimer pour a > O, G'(a) en fonction de l"(x), e"" et ay_1
II.C.8) Déduire de ce qui précède la relation (5%).

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III La fonction digamma

On définit la fonction 1/) (appelée fonction digamma) sur [R+* comme étant la 
dérivée de a: +--> ln(F(oe)).

P/
Pour tout réel 3: > O, 1/)(oe) : F((î))'
1
III.A -- Montrer que pour tout réel 9: > O, 1/J(oe + 1) -- 1/)(oe) : E.
III.B -- Sens de variation de il:
\ ô
III.B.1) A partir de la relation (5%), justifier que ô--î est définie sur 
([R+*)2.

Établir que pour tous réels a: > 0 et y > O, %(oe, y) : fl(oe,y)(tÿ(y) -- 
1/)(oe + y)).

III.B.2) Soit 95 > 0 fixé. Quel est le sens de variation sur [R+* de la 
fonction y +--> fl(oe,y) ?

III.B.3) Montrer que la fonction il) est croissante sur [R+*.

III.C -- Une eæpression de 1/) comme somme d'une série de fonctions

III.C.1) Montrer que pour tout réel 9: > --1 et pour tout entier n > 1

w(1+oe)--w(1)=w(n+oe+1)--w(n+ 1)+Î(%-- k-l--oe)
k=1

III.C.2) Soit n un entier > 2 et :c un réel > --1. On pose p = E(oe) + 1, où 
E(oe) désigne la partie entière de :c.

Prouver que

III.C.3) En déduire que, pour tout réel 9: > --1,

+oo
z<>
n 1

III.B -- Un développement en série entière
On note g la fonction définie sur [--1,+oo[ par

g 1.
III.B.2) Montrer que pour tout entier n et pour tout a: dans ]--1,1[

< EUR(2)lscl"+1 " (@ g<æ> --Z 9 ,""oek

kO k.

Montrer que g est développable en série entière sur ]--1,1[.
III.B.3) Prouver que pour tout a: dans ]--1,1[,

d)(1 + 93) = il)(1) + Z(--1)"+1C(n + 1)$"

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IV Une expression de ST en fonction de valeurs entières de {
82
Dans cette partie, on note B la fonction définie sur [R+* par B(oe) = 8--yÊ(oe, 
1).

I V.A -- Une relation entre B et il)
Justifier que B est définie sur [R+*.
À l'aide de la relation trouvée au III.B.1 établir que pour tout réel oe > 0

OEB($) = @@ + 93) - 1P(1))2 + (Tl/(1) -- 1/)'(1 + $))
En déduire que B est E'" sur [R+*.

I V.B -- Empression de S,, à l'aide de la fonction B
1
IV.B.1) Montrer que pour tout réel 9: > O, B(oe) : / (ln(1 -- t))2t°'"_1 dt.
0

IV.B.2) Donner sans justification une expression, à l'aide d'une intégrale, de 
B (p) (a:), pour tout entier naturel
p et tout réel :c > O.

(--1)'" .
2(7' -- 2)! æ-->O+
IV.B.4) Retrouver alors la valeur de S2 déjà calculée au I.F.3.
IV.C' -- Soit 
 2 la
valeur de cp(")(0) en fonction des dérivées successives de 1/) au point 1.

IV.B.3) En déduire que pour tout entier 7" > 2, S,, =

IV.C.2) Conclure que, pour tout entier 7" > 3,

l\)

,,,_

2Sr=rÇ(r+ 1)-- Ç(k+1)Ç(r--k)
1

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\ l

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