Centrale Maths 2 MP 2017

(, '» Mathématiques 2 l\

%. Fl
_/ MPO

tnncuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Ce problème a pour objet la représentation de la loi d'une variable aléatoire 
comme loi d'une somme de variables
aléatoires indépendantes.

On s'intéresse d'abord au cas d'une somme de deux variables à valeurs entières, 
puis au cas de variables aléatoires
dont la loi est celle de la somme d'un nombre quelconque de variables 
indépendantes de même loi.
Notations

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont discrètes. On 
note [P X la loi d'une variable
aléatoire X.

Si X et X ' sont deux variables aléatoires définies sur les espaces 
probabilisés respectifs (Q, /l, IP) et (O', A', P'),
la notation X ... X ' signifie que X et X ' ont même loi, c'est--à--dire [PX : 
[PX,.
Pour toute variable aléatoire X à valeurs dans N, on note G X sa fonction 
génératrice, définie, pour t E [R, par

GX(t) : Î r(x : n)t"
n=0

lorsque la série converge.
On pourra si nécessaire utiliser librement le résultat suivant.

Si m E N* et si Æ est une loi de probabilité sur un espace probabilisé 91, 
alors il existe
des variables aléatoires X 1, ...,Xm, définies sur un espace probabilisé Q..., 
mutuellement
indépendantes et de loi Æ .

Si a et b sont deux entiers tels que a < b, on désigne par [[a, b]] l'ensemble des entiers le tels que a EUR [EUR < b. I Variables aléatoires entières décomposables Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On appelle décomposition de X toute relation de la forme X rv Y + Z où Yet Z sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N, définies sur un espace probabilisé pouvant être distinct de celui sur lequel X est définie. On dit que X est décomposable si X admet une décomposition où Yet Z ne sont pas constantes presque sûrement. I. A + Premiers eæemples I.A.1) Soit X et X ' deux variables aléatoires à valeurs dans N. Justifier que X ... X ' si et seulement si I.A.2) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N admettant une décomposition X ... Y + Z, où Yet Z sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. Quelle relation lie G X, GY et G Z '? I.A.3) Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) où n 2 1 et p EUR ]0,1l. Montrer que X est décomposable si et seulement si n 2 2. I.A.4) Soit A(T) EUR [HT] le polynôme : A(T) : T4 + 2T + 1. a) Soit U(T) et V(T) deux polynômes à coefficients réels positifs ou nuls tels que U(T)V(T) : A(T). Montrer que l'un des polynômes U (T) ou V(T) est constant. On pourra distinguer les cas selon les valeurs des degrés de U(T) et V(T). b ) En déduire qu'il existe une variable aléatoire décomposable X telle que X 2 ne soit pas décomposable. On pourra considérer le polynôme %A(T). LB + Variables uniformes Dans cette sous--partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et X est une variable aléatoire à valeurs dans N, définie sur un espace probabilisé (Q, fl, [P) et suivant la loi uniforme sur [[0, n -- 1]] : iP(X:k)= % sikEUR [[O,n--1]] et P(X:k):0sinon I.B.l) Variables uniformes décomposables On suppose dans cette question que 11 n'est pas premier : il existe des entiers a et b, supérieurs ou égaux à 2, tels que n : ab. 2017--03--29 09:37:28 Page 1/4 (°°) BY--NC-SA a ) Montrer qu'il existe un unique couple de variables aléatoires entières (Q, R) définies sur Q telles que X:aQ+R et VwEUR Q, R(w) EUR [[0,a--1]] On pourra considérer une division euclidienne. b) Préciser la loi de (Q, B), puis les lois de Q et de R. 6) Montrer que X est décomposable. En déduire une expression de G X comme produit de deux polynômes non constants que l'on précisera. I.B.2) Variables uniformes non décomposables On suppose dans cette question que n est un nombre premier et on établit que X n'est pas décomposable. a ) Montrer qu'il suffit de prouver le résultat suivant : si U et Vsont des polynômes de Ü?{T] unitaires à coefficients dans IR+ tels que U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1, alors l'un des deux polynômes U ou Vest constant. Dans ce qui suit, on fixe des polynômes U et Vde iR{T] unitaires à coefficients dans [R+ tels que U(T)V(T) : 1 + T + + T"*1 On pose r : degU et s : degVet on suppose par l'absurde que T et s sont non nuls. 1 1 b) Montrer que U(T) : TTU(Î) et V(T) : TSV(Î)' On note alors U(T) : 1 +ulT + + u,Î1TT*1 + T'" et V(T) : 1 +vlT + + US+1TY1 + T5 avec r g 5 (quitte à échanger les rôles de U et V). 6) Montrer que VlEUR EUR [[1,r]], ukvk : 0. d) En déduire que Vk EUR [[1,r]], uk EUR {0,1} et v,, EUR {0,1}. e) Conclure. On pourra d'abord montrer que tous les coefficients de Vsont à valeurs dans {0,1}. II Variables infiniment divisibles : exemples Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [R. On dit que X est infiniment divisible si, pour tout m EUR N*, il existe des variables aléatoires réelles discrètes X... 1, ..., X,,, ,,, mutuellement indépendantes, de même loi, et vérifiant X ... X,,,_Ï1 + + Xm,m' Dans cette définition, l'espace probabilisé Q,,, sur lequel sont définies les X...,- peut dépendre de m. II.A + Variables bornées II.A.1) On suppose que X est constante égale a a EUR [R. Montrer que X est infiniment divisible. L'objectif de cette sous--partie est de montrer que toute variable aléatoire bornée infiniment divisible est presque sûrement constante. Soit X une variable aléatoire bornée infiniment divisible définie sur un espace probabilisé (Q,/l, lP). On note M : supQ |X|, de sorte que |X(w)| { M pour tout au EUR Q. II.A.2) Soit n EUR N* et soit X1,...,X,, des variables aléatoires indépendantes et de même loi, et telles que X1 + + X,, ait même loi que X. M M a) Pour tout i EUR [[1,n]], montrer que X,-- < -- presque sûrement, puis |X,| g -- presque sûrement. n n M2 b) En déduire que V(X ) < --, où V(X ) désigne la variance de X. n II.A.3) Conclure que X est presque sûrement constante. II.B + Étude du caractère infiniment divisible de quelques variables entières II.B.1) Une variable binomiale est--elle infiniment divisible '? II.B.2) Soit n un entier naturel non nul et soit X 1, ..., X,, des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs )\1, ..., À,,. Montrer que X1 + + X,, suit une loi de Poisson de paramètre À1 + + À,,. II.B.3) Soit X une variable aléatoire de Poisson. Montrer que X est infiniment divisible. II.B.4) Soit r un entier naturel non nul et soit X 1, ...,X, des variables aléatoires de Poisson mutuellement , indépendantes. Montrer que 2 iX,-- est une variable aléatoire infiniment divisible. i=1 2017-03-29 09:37:28 Page 2/4 (66 BY--NC-SA II.C * Séries de variables aléatoires à valeurs entières II.C.1) Soit X et Ydeux variables aléatoires définies sur (Q, A, P) et à valeurs dans N. a ) Montrer que si A et B sont des événements de ./l , et si A et Ë sont leurs événements contraires respectifs, alors |[P(A) -- [P(B)| g IP(A 0 É) + |POEn B) (>) En déduire que, pour tout t E {--1, 1], |GX(t) -- GY{t)| { 2[P(X # Y).

II.C.2) Soit (U,-)OEW une suite de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes à valeurs dans Ù\I telle que
la série des P(U,-- =,£ 0) soit convergente.

a) Soit Zn : {w EUR Q | Ei ; n, U,(w) # 0}. Montrer que (Zn) est une suite 
décroissante d'événements et que
lim P(Zn) : 0.
b) En déduire que l'ensemble {i EUR N* | U,-- 3£ O} est presque sûrement fini.

TL*>OO

(:) On pose S,, : ZÎ=1 U,- et S' : EÎîl U,. Justifier que S' est définie 
presque sûrement. Montrer que G Sn
converge uniformément vers G S sur {--1, l].

II.C.3) Soit (A,--)OEW une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que la 
série 2 À,-- est convergente, et on
note À : Zî1 À,-.

Soit (X ,)OEW une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour 
tout i, X,-- suive une loi de Poisson
de paramètre À,. On convient que, si À,-- : 0, X,- est la variable aléatoire 
nulle.

a) Montrer que la série Z IP(X, % O) est convergente.

(>) Montrer que la série ZZ>1 X,-- est presque sûrement convergente et que sa 
somme (définie presque sûrement)
suit une loi de Poisson de paramètre À.

0) Montrer que la série 2121 iX,- est presque sûrement convergente et que sa 
somme X : ZÎî1 iX, définit une
variable aléatoire infiniment divisible.

III Variables entières infiniment divisibles : étude générale

III.A * Série entière auæilz'aire
Dans cette sous--partie, X est une variable aléatoire à valeurs dans Ù\l telle 
que [P(X : O) > O.
III.A.1) Montrer qu'il existe une unique suite réelle (A,--),EW telle que, pour 
tout [EUR EUR IN*

k
kIP(X : k:) : ZjÀjü>(X : k --j)
j=1
III.A.2) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer

kf1 kil
|Àk|fl°(X : 0) < 1=(x : k) + Z |/\j|lP(X : k --j) g (1 _ P(X : O)) (1+ 2 |A,|) 1 k III.A.3) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer: 1 + ÿî=; |)'jl { IP(X : 0)"" III.A.4) Montrer que la série entière Z Àktk a un rayon de convergence p(X ) supérieur ou égal à IP(X : 0). Pour tout réel t de ]--p(X),p(X)L on pose HX(t) : ln(lP(X : O)) + Î Àktk k=l À toute variable aléatoire X à valeurs dans N et telle que [P(X : O) > 0, on 
associe ainsi une série entière H X.
Dans la suite du problème, H X sera appelée série entière auxiliaire de X.

III.A.5) Pour t E ]--p(X),p(X)L montrer G'X(t) : H&(t)GX(t), puis GX(t) : 
exp(HX(t)).

III.A.6) Soit X et Ydeux variables aléatoires indépendantes, définies sur 
l'espace Q et à valeurs dans N, et
soit H X et HY leurs séries entières auxiliaires. Montrer H X +Y(t) : H X(t) + 
HY(t) pour tout réel t vérifiant

ltl < mîn(p(X),p(Yl)- 2017-03-29 09:37:28 Page 3/4 GC) BY--NC-SA II.B -- Variables aléatoires entières À-positives Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN telle que U°(X : O) > O, et 
soit H X sa série entière auxiliaire :
HX(t) : ln([P(X : O)) + Z Àktk
k=l

On dira que X est À--positive si Àk ; 0 pour tout k 2 1.
On suppose dans cette sous--partie que X est À--positive.
P(X : k)
[P(X : O)
III.B.2) Montrer que, pour tout t EUR {--1,1], GX(t) : exp(Hx(t)) et que ZZ; Àk 
: --ln(ñ°(X : O)).

III.B.3) Soit (Xl) la suite de variables aléatoires définie au ll.C.3. Montrer 
que X ... Eîîl iX.--.

III.B.1) Pour tout [EUR EUR Ù\l*, montrer que Àk < . En déduire que la série Z Àk converge. III.C -- Caractérisation des variables entières infiniment divisibles Soit X une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans N et telle que [P(X : O) > O.
Le but de cette sous--partie est de montrer que les trois assertions suivantes 
sont équivalentes.
(i) X est infiniment divisible ;
(ii) X est À--positive ;
(iii) il existe une suite (X.-)Z>1 de variables de Poisson indépendantes, comme 
au ll.C.3, telle que
X ... ËÏ1iXi'

Dans les questions III.C.1 a III.C/1, on suppose que X est une variable 
aléatoire infiniment divisible à valeurs
dans N et telle que Û°(X : O) > 0. Pour tout n EUR D\l*, il existe donc n 
variables aléatoires indépendantes
Xn,1a ..., X..." de même loi telles que la variable aléatoire X...1 + + X..." 
suive la loi de X.

III.C.1)

a) Pour tout n EUR N'", montrer que X...1 est presque sûrement positive ou 
nulle.

b) Pour tout n EUR N'", montrer que U°(Xm1 : O) > 0.

c) Montrer que les variables aléatoires X...- sont presque sûrement à valeurs 
dans D\l.
III.C.2)

(1) Montrer lim IP(X...1 : O) = 1.

b) En déduire que, pour tout i EUR N*, lim

7L*>OO
[P(X...l : i) = @.

III.C.3) Soit H X la série entière auxiliaire de X , comme elle est définie à 
la question lll.A.4, et soit p(X ) son
rayon de convergence.

'Ilä>OO

Pour tout n EUR Ù\l*, soit H" la série entière auxiliaire de Xn,l'
a) Pour tout n EUR N'", montrer an : HX.
b) En déduire, pour tous n et [EUR dans N*

le
j=1

III.C.4) Pour tout [EUR EUR N*, montrer que la suite (nü°(X...1 : k))
À--positive.
III.C.5) Conclusion

(1) Montrer le résultat annoncé au début de cette sous--partie III.C.

GN converge vers Àk. En déduire que X est
" *

b) Comment adapter ce résultat aux variables aléatoires à valeurs dans IN* '?

6) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique _9(p), où ]) EUR 
]0, ll :
VlEUR EUR Ù\l* [P(X : k) : (l --p)kÿlp

La variable aléatoire X est--elle infiniment divisible '?

oooFlNooo

2017.03-29 09:37:28 Page 4/4 GC) BY--NC-SA