Centrale Maths 2 MP 2022

Mathématiques 2
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Objectifs
Ce problème étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions ÿ° f, de 
deux façons différentes : un point de
+00 +00
(K)
vue déterministe et un point de vue probabiliste. Pour conclure à une formule 
du type ( ù fa) L ù JE )
=0

n=0 =
avec K entier supérieur ou égal à 2, les théorèmes usuels contiennent 
généralement au moins une hypothèse

sur les dérivées intermédiaires f?,...., JE 1 (par exemple de convergence 
simple sur tout l'intervalle ou même

en un seul point). Le sujet montre que l'on peut affaiblir l'hypothèse de 
contrôle des dérivées intermédiaires

par une hypothèse de convergence de séries numériques de la forme Y° f,(x) où x 
parcourt un ensemble fini.

Cette dernière hypothèse sera de nouveau affaiblie dans la partie probabiliste 
consacrée à la dérivation de séries

aléatoires de fonctions.

Le sujet est divisé en quatre parties :

-- la partie I étudie une inégalité, qualifiée d'inégalité d'interpolation, qui 
permet de contrôler les dérivées
intermédiaires d'une fonction de classe CX :

-- la partie IT utilise la partie I pour démontrer un résultat de transfert du 
caractère C£ à une somme de série
de fonctions ;

-- la partie III, qui est indépendante des parties T et IT, étudie la 
convergence des séries aléatoires numériques de
la forme SX,a,, où (X,,) est une suite de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes de Rademacher
et (a, ) une suite réelle telle que la série 3 a? converge :

-- la partie IV utilise les résultats des parties précédentes pour donner une 
application au caractère C* de la
somme d'une série aléatoire de fonctions de la forme SX, f,.

Notations

-- Pour tous entiers à et j vérifiant à < j, la notation [i, ;] désigne l'intervalle d'entiers {i, 5] N N. -- La lettre X désigne systématiquement un entier naturel non nul. -- Le symbole Rx_,[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à X -- 1 à coefficients réels. -- Pour tout intervalle 1, on note CX (1) le R-espace vectoriel des fonctions f : 1 -- R de classe C*. Pour tous fEeCK(T et ke [0,K], on note f() la dérivée d'ordre k (et donc f(0) = f, ft) = f, F2 = f"). -- Dans le cas particulier Z = [0,1], pour toute fonction bornée f : [0,1] -- R, on note |f|. -- sup [f(x)|. æel0,1] I Inégalités d'interpolation des dérivées Soit K réels distincts x, < + < x% de l'intervalle [0, 1]. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant : il existe une constante EUR > 0 (dépendant des réels æ,,...,x%) telle que

K
VfE6K(0,1), max [JON IF + CD IF(xo)l. (11)

LkK 0 telle qu'on ait l'inégalité
d'interpolation à l'ordre 2,

VS EC*([0,1),  max([fl, FA) SUP + CF) + 1 (æ2)1). (L3)

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Q 3. Pour tous x EUR [0,1] et f EUR C*([0,1]), démontrer l'inégalité

f(x) ... J(t) er

"
2  J(x;)L; vérifie
j=1

V£ETÏ1,K|], P(xy) = f(x).

Dans les deux questions suivantes Q8 et Q9, on fixe f EUR C"([0,1]) et on note 
P le polynôme déterminé dans la
question Q7.

Q 8. Pour tout k& EUR [0, K -- 1], montrer qu'il existe au moins À -- k réels 
distincts de [0,1] en lesquels la
fonction f{F) -- PA) s'annule.
Q 9. En déduire l'inégalité 70) -- P)|] < (CR D) -- PA+L|] pour tout k E [0, K -- 1]. Q 10. Montrer qu'il existe une constante C > 0 pour laquelle l'inégalité 
d'interpolation (1.1) est vérifiée.

II Dérivation C* pour les séries de fonctions

II.A -- Énoncé général
On se propose maintenant de démontrer le résultat annoncé dans le préambule. 
Soit K EUR N*, on considère
-- des réels distincts x, < + < +4 d'un intervalle {a, b] (avec a < b) : -- une suite de fonctions (f,) de classe C# sur [a,b] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions > FE | converge normalement sur [a, b] :

(H2) pour tout £ EUR ]1, K] la série numérique Y_ f,(x,) est absolument 
convergente.
Q 11. Dans le cas particulier {a, b] -- |0,1|, justifier que la série ÿ_ f®) 
converge normalement sur [a, b] pour
tout k EUR [0, K -- 1].
Q 12. Traiter la question précédente dans le cas général d'un segment |, b] 
avec a < b. On pourra examiner f,, o o où © : [0,1] -- {a, b] est définie par o(t) = (1 --t)a + tb pour tout t EUR [0,1]. +00 D'après le résultat de la question précédente, on peut poser F,(x) -- > FA) (x) 
pour tout x EUR |a, b|.
n=0

Q 13.  Démontrer que F, est de classe CË sur [a, b] et que F\°) -- F, pour tout 
k EUR ]1, K]].

II.B -- Application sur un exemple

Dans cette sous-partie, on considère un exemple où les dérivées intermédiaires 
ne s'expriment pas avec les

fonctions usuelles.

Q 14. Pour tout n EUR N*, justifier qu'il existe une unique fonction f, EUR 
C*(10,+oo|[) vérifiant f,(1) = 0,

fh(2) =0 et f/(x) = (---1)"27%*" pour tout x > 0.

Q 15. Montrer que la série de fonctions »_ f, (x) converge normalement sur tout 
segment inclus dans |0, +l
+00

et que la fonction F:x+ > f, (x) est de classe ©? sur [0, +.

n=1l

Q 16.  Expliciter F"(x).

Q 17. Montrer que |F(x)| < = pour tout x EUR [1,2]. GI M041/2022-02-08 10:03:22 Page 2/4 (cc) BY-NC-SA IIT Convergence d'une série aléatoire de Rademacher Le but de cette partie est de montrer que, si la série Da converge, alors la série aléatoire ÿ_ X,a, converge avec probabilité 1. Notations -- (X,,),en désigne une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d'un espace probabilisé (Q,.4,P) vérifiant VnEe N, PCX,, = --1) = P(X =1)= 3; -- (ay )nen est une suite réelle telle que la série D a? converge : N -- pour tout N EUR N, on note Sy -- > X,,a, la somme partielle au rang N de la 
série ÿ_ X,,a,, :
n=Û0

-- Si ((3)). est une suite strictement croissante d'entiers naturels, pour tout 
entier 7 EUR N et tout entier
JEN

m EUR [o(j) + 1, d(j + 1)], on note les évènements
Aj= {Soin -- Soul > 27}:
B, = { ma 5, -- Sir: >2i}
on Pr Soil

Bon = {|Sn -- Sol > 27 et Vn E [é(j,m--iT], 18, -5,, <2%Y La réalisation de l'évènement B;,, signifie que m est le plus petit entier de l'intervalle [@(5), (5 + 1)] vérifiant Sn -- Son] > 2 7:
IIT.A -- Construction de la suite (@(j)) en majoration de P(A;)

j

Q 18. Justifier l'existence d'une suite strictement croissante d'entiers 
naturels (@(j)) x vérifiant
j
VEN, d &<2 J ; n > 8j °
On fixe désormais une telle suite (@( j)
Q 19.  Exprimer l'espérance et la variance de 5,,4;,1, -- S,;, en fonction des 
termes de la suite (a, }yen:

Q 20. Déduire des deux questions précédentes la majoration P(A;) < 2 1. III.B - Inégalité marimale de Lévy P(B;) < 2P(A,) Q 21. Pour tout j EUR N, démontrer que les évènements B;,,, pour m parcourant [@(5) + 1,0(j + 1)], sont disjoints deux à deux et qu'on a l'égalité d'évènements D(j) P(A;NB;).
m=6G)+1

Q 23. Soit mE [@(j) + 1,6(3 + 1)], montrer que la fonction

R -- KR
an 2 PDP (lassn -- 8, +5, -- Sup] > 272} N Bim)

est à valeurs dans N et est paire.

Q 24.  Prouver que si l'évènement B, se réalise, alors il existe m EUR [@(j) + 
1, 6(j + 1)] et a EUR {--1,+1} tels
que l'évènement

{laSsin 05, +8, Sol > 27%} B;m

se réalise également.

On pourra exprimer 5,, -- 5,ç;, en fonction des deux nombres à5,,(;,1, -- 45, 
+5, -- 5; avec à = +.
Q 25. En déduire que

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III.C -- Convergence de la série aléatoire > X,a,

Q 26. On note B l'évènement [] L) B;. Montrer l'égalité P(B) -- 0.
JEN j>J

Q 27. Montrer que l'évènement
{JEN, Vj2J, Vnefé(i) +1,60 +1)],. 15, -- Sa] <2 1} se réalise avec probabilité 1. Q 28. En déduire que l'évènement {la suite (S,,,,). est convergente} jEN a également une probabilité I. On pourra examiner la série à. Sycr) -- Sscpl Q 29.  Conclure que l'évènement {la série ÿ_ X,a, est convergente} a une probabilité 1. IV Dérivation CË pour des séries aléatoires de fonctions On fixe À EUR N* et on considère -- une suite de variables aléatoires (X,,),en vérifiant les hypothèses de la partie précédente : -- des réels distincts x, < + < xx de [0,1]: -- une suite de fonctions (f,) de classe CÂ sur [0,1] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions 5 f{*) converge normalement sur [0, 1] : (H2') pour tout £ EUR [1, K], la série numérique Y° f,(x,)* est convergente. Q 30. Montrer que l'une des deux hypothèses (H2') ou (H2) (étudiée dans la partie IT) implique l'autre. Q 31. Montrer que l'évènement {pour tout { E [1, K], la série > X,, f, (x,) est convergente}

a une probabilité 1.

Q 32. On note P, E Rx .,[X] un polynôme vérifiant P,(x,) = f,(x,) pour tout £ 
EUR ]1, K] (cf. question 7),
montrer que l'évènement

[pour tout k EUR [0, X], la série de fonctions SX, (f, -- P,,)%) est 
uniformément convergente sur [0,1], 7

+00
la fonction > X, (f, -- P,) est de classe CX, ,

n=0

oo +00
| pour tout k EUR ]0, K]|. (5 X (fn -- BD). -- D OX (fn -- P,)®
n=0 n=0

a une probabilité 1.

Q 33. Montrer que l'évènement

[pour tout k EUR [0,XT, la série de fonctions XX, f{* est uniformément 
convergente sur [0,1], ?

+00

la fonction > X,, f, est de classe CX,
n=0

+00 +00
(k)
pour tout k EUR [0, K|, (5 Xl) -- S x, fn
S n=Û0 n=0
a une probabilité 1.

Q 34. Donner un exemple d'entier K EUR N* pour lequel l'évènement

précédent se réalise avec les fonctions f,, définies par

Jo = 0,
Le -- In Gi + sin (=)) Vn EUR N°,Vx EUR [0,1].

eeoeFrINeee

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