Thème de l'épreuve | Autour de la fonction gaussienne |
Principaux outils utilisés | intégration, calcul asymptotique, variables aléatoires, suites et séries numériques et de fonctions, probabilités, analyse réelle |
Mots clefs | intégrale de Gauss, théorème central limite, fonctions en escalier, inégalité maximale, critère de tension, formule de Stirling, marche aléatoire |
Mathématiques 2 L MP, MPI © 4 heures Calculatrice autorisée ON Notations -- Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul. ---- Étant donnés deux entiers naturels a et b, on note [a, b] l'ensemble des entiers naturels k tels que a < k < b. -- Pour deux suites de nombres réels (u,, }men EURt (Un)men» là notation u,, = O(v,,) signifie qu'il existe une suite bornée (M,, men telle que Pon ait mo EN | Vm>mo, Um = Mylm. -- On pourra utiliser sans démonstration la formule suivante, qui précise la formule de Stirling lorsque n tend Vers +00 : 2 (a (0) Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes. I Résultats préliminaires LA - Calcul d'une intégrale classique Rappelons que n désigne un entier naturel non nul. On note L.A.1) Q 1. Q 2. Q 3. Q 4. Q 5. Q 6. 1 EE et Ke [ot (1+42)" (1+42)" 0 0 Montrer que Justifier l'existence de K,, et donner la valeur exacte de K.. Montrer que +00 J'arert-0(x) 1 On pourra minorer 1 + +{? par un polynôme de degré 1. En déduire que, lorsque n tend vers +co, 1 Établir la relation de récurrence K,, = K, ui + 5n En En déduire un équivalent simple de Z,, lorsque n tend vers +oo. M049/2023-03-28 22:43:36 Page 1/5 (Ghsey-\c-sA [.A.2) Q 7. Justifier que Q 8. Montrer que +00 lim yn1, = | e * du . 0 Q 9. En déduire les valeurs de +00 +00 | e* du puis de | e %/2 qu. 0 -- 60 Dans toute la suite, on posera pour tout x réel Oo I.B -- Comportement asymptotique de 1 -- Soit æ > 0. Q 10. En écrivant que w(t) < L(t) pour tout { > x, montrer que +00 | tt dt < 2) x L Q 11. À l'aide de l'étude d'une fonction bien choisie, montrer que +00 x + rx) < p(t) dt. T Q 12. En déduire un équivalent simple de 1 -- ®(x) lorsque x tend vers +oo. IC --- Une inégalité maximale Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et Z,,..,7, sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé (Q,.4,P). p Pour tout p EUR [1,n], on note R,, -- 1 Zi On va montrer la propriété > < > Vx > 0, P({max|R,| > 3r}) <3 max P({IR, | > x}) On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont bien des variables aléatoires discrètes. Pour simplifier, notons À l'événement { max |[R,| > 3x}. Ainsi, I3x}. M049/2023-03-28 22:43:36 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA Dans le cas où n > 2, définissons de plus les événements A; ={lR|2>3x} et A, = {,max |R; < 3x} N{|R,]| > 3x} pour p EUR [2,nl. Q 13. Exprimer l'événement À à l'aide des événements À,,4,,...,A4,. Q 14. Montrer que l'on a P(A) < P({IR,I > }) + D P(A,OUIR, I < x}). p=1 Q 15. Justifier que pour tout p EUR [1,n], on a l'inclusion A, N {R,|
2x}. Q 16. En déduire que P(A) < P(IR, [2 x}) + max P({IR, --R,| > 2x}). I 0 Q 21. Pour tout n EUR N*, montrer que B,, est une application décroissante sur R*. On pourra distinguer selon que n est pair ou impair. Dans la suite de cette partie, on fixe EUR > 0. La limite lim (x) = 0 assure de l'existence d'un nombre £ EUR R* T-- +00 tel que (4) < 5 M049/2023-03-28 22:43:36 Page 3/5 CITES II.B -- Dans cette sous-partie, on va montrer lim sup |B,,(x) --p(x)| = 0. no To %e|0,0 On introduit pour cela l'ensemble 1, ={kE0,n] La EUR [0,£+1}} dont on peut vérifier que c'est un intervalle d'entiers. Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que n et k varient de sorte que k EUR 1,,. Q 22. Montrer que l'on a kl(n -- k)! -- 27e "k"+1/2(n _ kyn-k+1/2 (: LO ()) n pour n tendant vers l'infini. On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d'énoncé. o() 1 Bt, x) -- V2r EU a Q 23. En déduire que, pour n tendant vers +oco, on a 9 = 2! n n Q 24. En déduire que I B,, (x -- n( n.k) V2r ) mil 1 -- Lo k 1 + Ln.k n nn puis que B (ty x) = _ exp (-2 | (1 +O (x) | Q 25. Montrer qu il existe un entier naturel n, tel que, pour tout entier n > n;, sup |B,,(2) -- p(x)| xe|0,4) NI II. C -- Q 26. Pour tout £ > 0, montrer qu'il existe un entier naturel n,, tel que, pour tout n 2 nr, B, (4) < 29(£). Q 27. Conclure que la suite (AÀ,,),e1+ converge vers 0. III Applications Soit ((2,.4,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P) telle que PCX = --1) = 1/2 et P(X = 1) = 1/2. On considère une suite (X;),.,, de variables aléatoires discrètes sur ({,.4, P), mutuellement indépendantes et de même loi que À. On définit alors So=0 et VneN, S,= X; i=1 On dit que (5, ),en est une marche aléatoire symétrique sur Z. On admettra que pour tout n > 1, $,, est une variable aléatoire discrète sur (Q,.4,P). M049/2023-03-28 22:43:36 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA III. À -- Théorème central limite Soit Z un intervalle de R et (f,,),ew- une suite de fonctions continues par morceaux sur 7 qui converge unifor- mément sur 1 vers une fonction f également continue par morceaux sur J. Q 28. Silu,), (respectivement (v,),a) est une suite de nombres réels appartenant à 7 qui converge vers u EUR Î (respectivement v EUR 1), montrer que n--+00 lim 'ataras _ Î f(x) de. _ X,+1 _ On pose, pour tout à E N°, Y, = #5 et T, =), Y;. Q 29. Montrer que, pour tout j EUR [0,n|, Taj tl/Vn PAT == | Bode. Taj l/Vn où æ,,,; à été défini dans la partie Il. Considérons un couple (u,v) de réels tel que u < v, et notons . n + uA/n | nm + vA/n = Yi EUR Loin OR < je EE, Q 30. Justifier que P (4 < 2 < v}) = D PAT, = j}). JE dy Q 31. En déduire que l'on a puis que EUTPIEES où les applications & et ® ont été définies dans la partie I. ITI.B -- Critère de tension Dans cette dernière sous-partie, on fixe EUR EUR |0,1|. Q 32. Montrer quil existe x, 2 1 tel que l'on ait Vx>zo,, MEN, Vn>n,, aP({IS,|>xyn})
3xVn}) < 8e. eeoeFrINeee M049/2023-03-28 22:43:36 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA