Mathématiques 2
MP, MPI
4 heures Calculatrice autorisée
2024
Notations
-- Dans tout le problème, K désigne R ou C.
-- On note K[X] le K-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K.
-- Pour tout d E N, K,/[X] désigne le K-espace vectoriel des polynômes de degré
inférieur ou égal à d.
-- On note U le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.
Objectifs du problème
Soit À une fonction de K dans K. On dit qu'une fonction f de K dans K est
solution de l'équation (E,) sur K si
VxEK, f(x +1) -- f(x) = h(x). (E,,)
Le but du problème est l'étude de l'équation (F;).
La partie I de ce problème étudie l'existence de solutions dans le cas où À est
polynomiale.
La partie IT introduit la définition et établit quelques propriétés des
fonctions entières.
La partie II définit les polynômes de Bernoulli et explicite une solution
polynomiale à l'équation (E,), ainsi
qu'une application analytique de ces polynômes.
La partie IV étend la résolution de (E,) au cas où À est une fonction entière.
I Etude de l'opérateur différence finie
On considère l'application À définie par :
. J'KEXT = KX
D re P(X +1) P(X)
Q 1. Montrer que À est un endomorphisme de K[X].
Q 2. Soit P e K[X]. Déterminer le degré de A(P) en fonction de celui de P.
Q 3. Montrer que, pour tout d EUR N°, À induit un endomorphisme sur K,[X].
On note À, l'endomorphisme de K,[X] induit par A.
Q 4. Déterminer Ker(A,) et Im(A,) pour tout d EUR à".
Q 5. En déduire Ker(A) et Im(A). Appliquer les résultats obtenus à l'étude de
l'équation (E;) dans le cas
où h est une fonction polynomiale.
Q 6. On suppose (pour cette question seulement) que h est la fonction x + x.
Déterminer une solution de
(E,) dans K,[X], puis toutes les solutions polynomiales de l'équation (E;,).
Q 7. Soit d EUR N*. Déterminer un polynôme annulateur de À. L'endomorphisme À,
est-il diagonalisable ?
M064/2024-05-07 10:36:53 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA
IT Fonctions entières
On note w l'application de [0,1] dans EUR définie, pour tout t EUR [0,1], par
w(t) = e"it.
II. A --- Généralités
On note EUR l'ensemble des fonctions f : C -- C développables en série entière
de rayon de convergence infini.
Q 8. Justifier que si (f,g) EUR EUR* et (À, u) EUR C*, alors Af+uge£et fgeë.
Q 9. Soit f EUR EUR dont on note ÿ_ a,,z" le développement en série entière.
Montrer que, pour tout k EUR Z:
sinon
fret: dt = {5 sikeN
II.B --- Une intégrale
Pour tout p EUR Z, on pose
: +1
w(t)P
0
Q 10. Vérifier que cette intégrale est bien définie pour tout p EUR Z.
Q 11. Montrer qu'il existe une fonction B EUR EUR et une constante C' EUR |0,
1] telles que, pour tout Ç EUR U,
ef --1=C(1+68(0)) et [HI 0,VneN,VzecC,(fz = (2n+1l)r = le ---1)2>0c).
On suppose que P est fausse.
Q 23. Montrer l'existence d'une suite d'entiers naturels (n,,),en et d'une
suite de nombres complexes (z,,),en
telles que :
Z --
er A 1 et VpEN, |2,] = (2n, +1)r
Pour tout p EUR N, on note a,, = Re(z,) et b,, -- Im(z,,).
Q 24. Montrer que a,
Q 25. Pour tout p EUR NN, on note
nc Det |z,| -- 1, no 0.
+1 si b, > 0
E, = |
P --1] si b, < 0 En étudiant exp(z,, -- ie,|z,|), aboutir à une contradiction et conclure. M064/2024-05-07 10:36:53 Page 3/4 (CD) BY-Nc-SA IV.B - Une solution à (E;) Pour tout ñn EUR N, on définit maintenant DEN th (On + 1)re'iTt Pour tout n EUR Net tout z EUR C, soit Q 26. Montrer que, pour tout n EN, Q,EË. Q 27. Montrer que VneN*',VzeC, Q,(z2+1)---Q,(z) =nz"t Q 28. Montrer qu'il existe deux constantes a, b EUR KR, telles que, pour tout n EUR N* et tout 2EUR C, Q,(z)| < at, Q 29. En déduire l'existence d'une solution dans EUR à l'équation (E,) lorsque À EUR EUR. ee erFINeee M064/2024-05-07 10:36:53 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA
