W48X
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice est interdit
Objectifs.
Le but du problème est d'étudier, dans un R--espace vectoriel normé, la
distance d'un vecteur à
un hyperplan.
Dans la partie I, on étudie un exemple dans l'ensemble M.,, (R) des matrices
carrées d'ordre n
à coefficients réels.
Dans la partie II, on étudie le cas de la dimension finie, puis on montre que
les hyperplans sont
fermés ou denses.
Dans la partie III, on étudie le cas des hyperplans denses.
Dans la partie IV, on étudie un exemple d'hyperplan fermé.
Les quatre parties sont, dans une large mesure, indépendantes.
Partie I.
M,, (R) est l'ensemble des matricOE carrées d'ordre n > 2, à. coefficients
réels, ou le munit du
produit scalaire défini par :
' (AIB) == tr ('AB)
où A et B sont deux matrices de M,. (R), 'A est la transposée de la matrice A
et tr ('AB) est
la trace de la matrice 'AB.
Soit F = ( fi,j)1gign la matrice de Mn (R) définie par :
1+oo
b) Montrer qu'il existe une suite (y 0 extraite de la suite (yn)n20 qui
converge vers
un élément de H .
o) En déduire qu'il existe yo appartenant à l'hyperplan H tel que :
d(OE0,H) : ||OEo --- yo|l'
On dit que la distance de 130 à. l'hyperplan H est atteinte en yo.
2) On suppose dans cette question que E est un R--espaoe vectoriel normé de
dimension quel---
conque.
a) Montrer que si h est une forme linéaire continue sur E alors le noyau, Kerh,
est fermé
dans E.
b) Montrer que si le noyau, Kerh, de h est fermé alors h est continue. On
pourra montrer
que, si h n'est pas continue, alors il existe une suite (t,, )n20 de E telle
que :
lim t,, = O.
n----++oo
h (t,,) = 1, pour tout entier n.
Puis, on utilisera la suite (t,, ------- t0)n20 pour mettre en évidence une
contradiction.
c) Montrer que si H est un hyperplan de E alors l'adhérence H de H est un
sous--espace
vectoriel de E.
d) En déduire que tout hyperplan de E est fermé ou dense, c'est à. dire H = H
ou H = E.
Partie III.
On suppose dans cette partie que E est un espace préhilbertien muni du produit
scalaire :
E X E l------> R
(sv, y) '----> (OEly)
1) Déterminer H ' , l'orthogonal de H.
2) Que dire de H @ E'?
3) Pour tout vecteur :: de E, calculer la distance d (x, H).
4) La distance d (a:, H) est--elle toujours atteinte? Justifier.
et que H est un hyperplan dense de E, c'est à dire H = E.
Partie IV.
On suppose dans cette partie que H est un hyperplan fermé, d'un R--espace
vectoriel normé E
de dimension quelconque. H est le noyau de la forme linéaire h, continue non
nulle sur E. 330 désigne
un vecteur fixé de E. On rappelle que la norme de l'application h subordonnée
àla norme de E est
définie par :
lh(OE)l
IHM =sup -
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1) a) Montrer que, pour tout élément y de H on a :
|h(OE0)|
a: -----y 2
" ° " mmu
. . , . |h (æ0)|
b) En dédmre que la distance de mo à. 1 hyperplan H est supérieure ou égale à
... h| || .
c) Montrer que ci (ne... H) = 0 si et seulement si 580 EUR H.
d) On considère dans cette question æg $ H .
&) Montrer qu'il existe une suite (wn)n>0 d'éléments de E \{O} vérifiant :
l|lhlll =-- nm """"-
n-->+°° l|wn||
fi) Montrer que, pour tout entier n, il existe un réel Àn non nul et un vecteur
yn de H
tel que : wn : Ànæ0 + y,,.
7) Prouver que, pour tout entier n :
e) En déduire que, pour tout vecteur 1130 de E, on a :
|h(æo)|_
|||h|||
2) Dans cette question, E est l'ensemble des suites réelles de limite nulle, on
munit cet ensemble
de la norme infinie, c'est à. dire que si u EUR E alors u : (un)">0 et Hulloo :
sup lun], E est ainsi
/ nEURN
d(æo,H) :
un R--espace vectoriel normé.
h est l'application définie de E dans R par :
Un
h (u) : 22n+1
n=O
a) Montrer que la série }: 2ÎÏ-1 est convergente.
b) Montrer que h est une forme linéaire continue non nulle sur E, en déduire
...la] Il < 1. c) Soit (UP)?)0 une suite d'éléments de E, on notera U,, (n) le terme de rang 77. de la suite 'vp. On définit U,, par : v,,(n)=1si0
