e3a Maths 1 MP 2020

SESSION 2020 \( D MP8M

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N et 
telles que :
VkREN, P(X =k) =P(Y =D = pq

où p E]0, If et g = 1 -- p.
1. Vérifier que l'on définit ainsi des lois de probabilité.
2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et la calculer.
3. Calculer P(X = Y) et P(X < Y). 4, Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y. Exercice 2. n | x Pour tout réel x et tout entier naturel n non nul, on pose : P,(x) = IE ch (=) k=1 e' +e ! 2 1. Montrer que pour tout x réel, la suite (P,(x)),aw est croissante. où VER, ch(f) -- 2. Déterminer l'ensemble J des réels x pour lesquels la suite (P,(x)),aw: est convergente. On pourra utiliser la suite (In(P,(x)) he: 3. Soit x EUR J. On note w(x) la limite de la suite (P, (x) ser. 3.1. Étudier la parité et la monotonie de la fonction & sur J. 3.2. Démontrer que la fonction 4 est continue sur J. Ï Ï 4.1. Prouver que la fonction fr ------ est intégrable sur R et calculer [ --, ch(f) r Ch On pourra utiliser un changement de variables. Ï 4.2. En déduire l'intégrabilité de la fonction --. p Exercice 3. QUESTIONS DE COURS 1. On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes aX° + bX + c dont on note s} et s> les racines.

Donner sans démonstration les expressions de a; = $, + s, et de oc; = 5,52 à 
l'aide des coeffi-
cients a, bet c.

2. Soient a et b deux réels et (4,),ew une suite réelle définie par w EUR KR, 
#, EUR KR et la relation de
récurrence :

VnEN, uy:55 = au,:1 + bu,

On note r, et r, les racines dans EUR de l'équation caractéristique associée à 
cette suite.
Soit n EUR N. Exprimer #, en fonction de r;, ñ et ñn.

On sera amené à distinguer trois cas et 1l n'est pas demandé d'exprimer les 
constantes qui
apparaissent en fonction de #, et de u1.

2/4
+ © 2% © *% %

On note & l'ensemble des suites réelles x = (x,),-7 indexées par Z telles que 
les sous-suites (x, yen
et (X_y)nen convergent.

On admettra que l'ensemble Æ des suites réelles indexées par Z est un R-espace 
vectoriel.
L'endomorphisme identité de l'espace E sera noté 1dg.

On définit les applications S et T de EUR dans E par :

Vxe®, S(x) =z, avec VneZ, z =x;
et

Vxe, T(x) = y, avec VneZ, y, = Xy-1 + Xp.

. Donner un exemple de suite non constante, élément de EUR.

. Montrer que EUR est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E.

1

2

3. Prouver que si une suite x est dans , elle est bornée.

4, Montrer que T est un endomorphisme de EUR. On admettra qu'il en est de même 
pour S.
5

. SoientF={xeé, VNneZ, x, =x.,}) et G={xe 6, NneZ, x, = --x ,}.
Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de EUR.

ON

. Étude de l'endomorphisme S
Prouver que S est une symétrie de EUR dont on précisera les éléments 
caractéristiques.

I

. Étude de l'endomorphisme T
On rappelle qu'une suite x est dans EUR lorsque les deux sous-suites (x,)sen et 
(X_»)nen Sont
convergentes.

7.1. Soit À un réel. Montrer que si À &# {--2, 2}, Ker(T -- Aid) = {04} où 04 
désigne le vecteur
nul de EUR.

On pourra utiliser les questions de cours.
7.2. L'endomorphisme T est-il injectif ?
7.3. Déterminer Ker(T -- 21d;) et Ker(T + 21d).
7.4. Déterminer alors l'ensemble de toutes les valeurs propres de 
l'endomorphisme T..

8. On munit # de la norme infinie : si x EUR EUR, [xl = Sup {x;,|.
nez

+00
n + --n
Soit N l'application qui à tout élément x de #, associe N(x) = > Ro ,
n=0
8.1. Vérifier que pour tout x de &, N(x) existe.

8.2. Démontrer que l'on définit ainsi une norme sur l'espace EUR.
8.3. Montrer que S est une isométrie de l'espace vectoriel normé (&, N). 
Est-elle continue ?
8.4. Prouver que dans cet espace normé, les sous-espaces vectoriels F et G sont 
des fermés.

8.5. Les deux normes || || et N sont-elles équivalentes ?

3/4
Exercice 4.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note E = KR,[X] et on 
pose, pour tout couple
(P,Q) EUR E",

1
< P,O>=- [ P(HO(P) dr.
0

1. Démontrer que l'on définit ainsi sur E un produit scalaire.
Dans la suite de cet exercice, E est l'espace euclidien R,[X] muni de ce 
produit scalaire.

2. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. Donner sans 
démonstration la dimension
de F--.

3. On prend dans cette question n = 2.
Déterminer une base du sous-espace (R;[X1)"_.

4, On revient au cas général : n > 2 et soit LE (R,_,[X]) non nul.

4.1. Déterminer le degré de L.

1
4.2. On pose, lorsque cela est possible, pour x réel : &(x) = [ L(r) r° dr.
0

4.2.1. Montrer que w est une fonction rationnelle.

4.2.2. Déterminer les zéros et les pôles de &. Donner pour chacun son ordre de 
multiplicité.
On pourra examiner les degrés du dénominateur et du numérateur de la fonction 
ra-
tonnelle ©.

4.2.3. En déduire une expression de 4, à une constante multiplicative près, 
faisant apparaître
le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée.

4.3. En utilisant une décomposition en éléments simples de la fonction 
rationnelle &, donner
une base de (R,_:[X1)_.

Exercice 5.

Soit (w,),ew: une suite réelle convergente de limite EUR.
Pour tout n EUR N°", on définit sur [ 0, 1] la fonction en escalier jf, par :

VkeÏ1,nl, vie a fn) = wr et fl) = w,.

1
1. Déterminer [ fn(®) df.
0

2. Prouver que l'on a pour tout f EUR [ 0, IT, ff) = wiw1+1 où [x] désigne la 
partie entière du réel x.

3. En déduire pour tout f EUR [ 0, 1], la valeur de lim f,(r).
n-- +00

Ï
4. Prouver alors que l'on a : lim -- > Wy = L.

+ © 2% © *% %

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 201155 - D'après documents fournis