e3a Maths 1 MP 2022

SESSION 2022 (> MP8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

-_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/6
EXERCICE 1

+O0
1. Pour tout réel x, on pose, lorsque cela est possible, L'(x) = [ ledit.
0

1.1. Déterminer l'ensemble de définition À de TI.

1.2. Démontrer que pour tout réel x de À, L'(x + 1) = x [(x).

|
1.3. On admet que T 5) = Vr.

Ï ; Sp:
Calculer Ê + ;) pour tout entier naturel n. On exprimera le résultat à l'aide 
de factorielles.

+00
2. Pour tout entier naturel n, on pose 1, = [ exp (-?) df.
0

2.1. Justifier l'existence de J,.

2.2. En utilisant la question 1. calculer J,.

+00
3. Pour tout réel x, on pose, lorsque cela est possible, H(x) = [ COS(xf) exp 
(-?) df.
0

3.1. Donner le développement en série entière de la fonction cos au voisinage 
de 0 et préciser son
domaine de validité.

3.2. Justifier que H est définie sur R et l'exprimer à l'aide de fonctions 
usuelles.
On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont 
bien vérifiées.
4, On se propose de retrouver le résultat établi à la question 3.2. par une 
autre méthode.

4.1. Démontrer que H est de classe C' sur R.

4.2. Montrer que H est solution d'une équation différentielle linéaire du 
premier ordre.

4.3. Retrouver l'expression de H obtenue à la question 3.2.

EXERCICE 2

1. Questions de cours

1.1. Soit f une fonction continue sur le segment [a, b|.

Donner, sans démonstration, la limite quand n tend vers l'infini de 
l'expression :

b-- n--] b --
ss fla+s <] n 20 n n--| . Ï m 1.2. Soit m EUR N. Déterminer en fonction de m la valeur de lim -- (2) | n j=0 n--+o ff] 2/6 1.3. Soit n un entier non nul. Donner, sans démonstration, l'espérance d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [1,n||. + © % © *# % Soient k et n deux éléments de N°. On dispose de k urnes contenant chacune n boules numérotées de 1 àn. On tire une boule au hasard de chaque urne et on désigne par X, la variable aléatoire égale au plus grand des numéros obtenus. On suppose que les tirages sont indépendants les uns des autres. 2. Donner l'ensemble J des valeurs prises par X,. GI 3. Soit j EUR J. Évaluer P(X, < j) et prouver que l'on a : P(X, = j) = - n 4, Démontrer que l'espérance E(X,) de la variable aléatoire X, peut s'écrire : n--1 E(X,) = > P(X, > j.
j=0
5. Calculer E(X,) et en donner un équivalent lorsque ñn tend vers l'infini.

6. Lorsque & = 1, reconnaître la loi de X, et vérifier la cohérence du résultat 
obtenu à la question
précédente.

EXERCICE 3

Soit E un espace euclidien muni d'un produit scalaire (|) dont la norme est 
notée ||||.

1. Questions de cours

1.1. Soient x et y deux vecteurs de E. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz 
: [(xly)| < [xl] [[y{|. On pourra utiliser la fonction t + ||x + t ylf. 1.2. Démontrer qu'on a l'égalité [(xly)| = [|x|||ly{| si, et seulement si, les vecteurs x et y sont colinéaires. 1.3. On considère E = .#,1(R) muni de sa base canonique et du produit scalaire canonique (XIY) = X'' y. l Y1 2. D qe I V2 Ecrire cette inégalité pour X =| .|etY =|. |. I Yn + % 2% 2% % 3/6 Pour toute la suite de l'exercice, on identifie R" et .#, 1(R) Partie 1 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note B={X ER", IXI < 1}. On considère l'application F de R" vers R définie par : X] VX = . EUR KR", F(X) = Xi X; 2 7 té Par exemple, pour ñn = 3, on a F(X) = x1%2 + X1X3 + XX + X2X3 + X3X1 + X3X2 = 2 (x1X2 + X1X3 + X2X3). n n 2. Exprimer alors F(X) à l'aide de S,(n) = > x; et de Sn) = > x?
i=I i=I

3. Montrer que F possède un maximum sur B que l'on notera M.

4, Montrer en utilisant la question 1. que M =n--- I.

5. Déterminer tous les X EUR KR" tels que F(X) = M.
Partie 2

On note Z = (e1,....., e,) la base canonique orthonormale pour le produit 
scalaire (X|Y) = X? Y de R".
X1 y1

X2 ÿY2
Pour tout couple de vecteurs (X, Y) de R" décomposés dans la base Z : X =| [et 
Y =| . |, on pose:

Xn Vn

p(X, Y) = : 2 (xy) + x jy).
ii
Par exemple, pour ñn = 3, on a @(X, Y) = x1ÿ2 + X1Y3 + X2ÿ1 + X2ÿ3 + X3ÿ1 + X3ÿ.
6. Pour tout X EUR R" exprimer F(X) à l'aide de «.
7. Écrire la matrice À -- (a j) E MR) définie pour tout (i, j) EUR [1, n]" par 
di; = @ (e; e j).

8. Justifier l'existence d'une base orthonormale L = (u;,u2,...,u,) constituée 
de vecteurs propres de
la matrice À.

9, Vérifier que pour tout couple de vecteurs (X, Y) de (R"}", on a @(X, Y) = 
Y'AX = X'AY.

10. Soit J la matrice de .#,(R) dont tous les éléments sont égaux à 1.

10.1. Déterminer les valeurs propres de la matrice J.

10.2. En déduire une matrice diagonale À semblable à la matrice À.

11. Donner l'expression de &(X, Y) en fonction des coordonnées de X et Y dans 
la base T4.

12. Retrouver alors le résultat établi à la question 4.

4/6
EXERCICE 4

Questions préliminaires

| 217 |
Pour tout entier n > 2, on note : & = exp ] où i est un nombre complexe tel que 
i* = -1.
n

._- I
1. Soit z EUR C". Démontrer que {z| = 1 si, et seulement si, z = --.
Z

2. Soit k EUR [0,n -- 1]. Déterminer r EUR [0,n -- 1] tel que a = w.
n--| n--|

3. Calculer S, -- > & et P, = IE &*
k=0 k=0

4, On considère le polynôme P -- > kX 1.
k=1

x (n+l)x" +1

4.1. Montrer que pour tout réel x différent de 1 : P(x) = 7

(x -- 1)
4.2. Montrer que : Vkefl,n-11], P(&*) = ET
© --
n--|
4.3. En factorisant X" -- 1 dans C[XT, montrer que : IE (1 .: w*) = N.
k=1
k 2 2 2 2
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 4.
On note F et À les matrices de .#, (C) définies par :
COQ 1 O0... .. 0)
0 O0 1 O0
F=|" 0 © | et A =P()
D -.. O 1!
| 1 0 0 )

où P est le polynôme défini à la question 4.

5. Réduction de la matrice F

5.1. Donner, sans démonstration, la matrice F" pour k EUR [[2,n -- 2], F"°" 
puis F".

On pourra étudier le cas n = 4 et/ou l'endomorphisme f canoniquement associé à 
F pour
conjecturer les résultats.

5.2. On note G- le sous-espace vectoriel de .#, (C) engendré par la famille (F 
')
Montrer que G est de dimension nr. En donner une base.

kEN

5.3. Démontrer que X" -- 1 est le polynôme minimal de F.

5/6
5.4. Justifier que F est diagonalisable dans .#,(C) et donner une matrice 
diagonale D semblable
à F.

. Réduction de la matrice À

6.1. Expliciter la matrice A.
6.2. Déterminer une matrice À diagonale semblable à la matrice À.

6.3. Déterminer le degré du polynôme minimal de A.
En déduire que (4, A, ..., A") est une famille libre de .#,(C).

7. Calculer le déterminant de À. Justifier que la matrice À est inversible.

8. Soit GA le sous-espace vectoriel de .#,(C) engendré par la famille (a®)

Vérifier que A7! EUR G4.

. Montrer que G1 = Gr.
10.
11.

Vérifier que l'on a l'égalité : À (F -- 1) =n(F-1,).

Déterminer enfin une expression de A7! à l'aide des puissances de la matrice F.

FIN

6/6