e3a Mathématiques MP-MPI 2024

SESSION 2024 (D MP8M

NE
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

.< Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/6 Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/5 EXERCICE 1 Pour tout réel x, on rappelle que la partie entière de x, notée | x], est l'unique entier relatif & vérifiant : k1
COS(n)

VneN", a,
n

On note R son rayon de convergence.

2. Montrer que R > I.
3. Prouver que la série de terme général cos(n) diverge.

4, En déduire la valeur de R.

+00

On note alors, pour tout x EUR] -- R,R[, f(x) = D cos(r) x"
n=]
+00
5. Donner le rayon de convergence et la somme de la série entière définie par : 
D e" x! où i
n=0
désigne le nombre complexe usuel tel que i* = -1.

6. En déduire une expression simple de f"(x) pour tout x EUR] -- R, RI.

7. Déterminer alors une expression de la somme de la série entière proposée à 
l'aide de fonctions
usuelles.

2/5
8.

En déduire le rayon de convergence et la somme g(x) de la série entière D x.

EXERCICE 3
Soient n e N° et À EUR .#,(R) telle que A! = 3 A7 -- À -- J, où A' désigne la 
matrice transposée de la
matrice À.
1. Démontrer que la matrice B = 3 A° -- A? -- À est symétrique réelle.

LH ABS

10.

11.

. Montrer que les valeurs propres de B sont réelles, positives ou nulles.

On pourra étudier le signe de Y' BY pour un vecteur Y de R".

Montrer que l'on a : A = 3(A') -- AT --J,.

En déduire que le polynôme P(X) = (3 X° -- X -- 1)° -- X° est annulateur de la 
matrice A.
Déterminer un polynôme unitaire annulateur de A".

Factoriser P en produit de polynômes irréductibles dans R[X1].

La matrice À est-elle inversible ?

Établir que la matrice À est diagonalisable et préciser ses valeurs propres 
possibles.

Soit À une valeur propre de À et V un vecteur propre associé.
Montrer que V est aussi vecteur propre de A".

On note à; = 1,a@,@3, @, les racines du polynôme P.

On appelle Z = (L;, Li, L;, LA) la famille des polynômes de Lagrange associée à 
cette famille
de scalaires, c'est-à-dire les polynômes (L;);4r141 de R3[X], espace vectoriel 
des polynômes de
degré inférieur ou égal à 3 à coefhcients réels, tels que :

Î Si J=1

V(G,j)) EUR [1,4]°, L;(@;) = 6;; où 6;; = { O sinon (symbole de Kronecker).

10.1. Déterminer L,; sous forme d'un produit de polynômes irréductibles de R[X1.
10.2. Vérifier que .Z est une base de R;:[X1].

10.3. Soit R EUR R;[X],. Déterminer les coordonnées du polynôme RÀ dans la base 
7.

Étude des puissances de À

11.1. Soitke N.

11.1.1. Exprimer le reste de la division euclidienne de X* par le polynôme P 
dans la base Z.

11.1.2. En déduire une expression de A*.

11.2. Démontrer que la suite (A), converge vers une matrice de projection.

Exprimer cette matrice à l'aide de la matrice À et des (L;);er1 47

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EXERCICE 4

Questions préliminaires

1. Démontrer qu'une fonction f de classe C' sur un segment J est lipschitzienne 
sur J.
2. Démontrer qu'une fonction k-lipschitzienne sur un intervalle 7 est 
uniformément continue sur
cet intervalle.

RARE

Soient E l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux bornées sur R 
à valeurs dans R et F
l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux à valeurs dans KR et 
intégrables sur KR.

On rappelle que : Vg EUR F, [gl = [eco etVfEeEËE,|lfll = Supl/f(r)| définissent 
des normes
R

[ER
respectivement sur les espaces F et E.

SoientgeFetfeE.

3. Montrer que la fonction :

x (f x 8) = [ fQ = D g(n di

est bien définie sur KR.

4, Démontrer que f x g = g x f.

5. On pose f:xeRr
O0 sinon

5.1. Représenter la fonction jf, dans un repère orthonormal.
5.2. La fonction f; est-elle continue sur R ?

6. Étude de fi * g
6.1. Montrer que f, x g est bien définie sur KR.

6.2. Si g est k-lipschitzienne sur KR, prouver que la fonction f, x g est 
uniformément continue
sur KR.

6.3. Démontrer que pour tout x réel :

x+1/2

(fi x g)(x) -- [ g(u) du

x--1/2

6.4. Si g est continue sur R, prouver que f, x g est de classe C' sur R et 
calculer sa dérivée.
7. Étude de f, x f

7.1. Justifier que jf; x f1 existe.
7.2. Déterminer l'expression de (f, x f,)(x) suivant les valeurs du réel x.
7.3. Représenter la fonction jf; x f, dans un repère orthonormal.

7.4. La fonction f; x f, est-elle continue sur R ?

4/5
8. Soit & un réel strictement positif.

10.

Il
On note h, la fonction définie par : VxekR, h,;(x) = -- f; (=)
a \a«
8.1. Représenter graphiquement la fonction h, dans un repère orthonormal.

+00

8.2. Vérifier que l'on a : [ h,(x) dx = I.

-- C9

8.3. Soit x, un point en lequel la fonction g est continue.

Montrer que : Hm(Aa x £)(Xxo) = g(Xo).

. Etude d'une norme subordonnée

9.1. Montrer que pour tout h dans E : |h x elle < Ilglli Alle 9.2. Montrer que l'endomorphisme ® de (E, [|.[L.) qui à tout h associe h x g est continu. 9.3. En déduire une majoration de [||D{|| (norme subordonnée de ®). On suppose dans cette question que g est une fonction bornée, continue par morceaux et que f vérifie la propriété : JA > 0 tel que Y x vérifiant [x] > À, f(x) = 0

Montrer que f x g est uniformément continue sur KR.

FIN

5/5