e3a Maths B MP 2007

GN66

e 3 &
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B MP

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

Soit F une fonction de classe 600 sur R développable en série entière sur R. On 
pose :

Soit & un réel strictement positif. On considère l'équation différentielle 5 :

æy' + ay : F(oe).

1. On désigne par J un intervalle de R qui ne contient pas 0. Résoudre sur J 
l'équation
homogène :cy' + ay == 0 ; on pourra poser 2 : loe|°'y et déterminer une 
équation différentielle
du premier ordre vérifiée par z.

On désigne par I la réunion des intervalles ] -- 00, O[ et ]O, +oo[.

2. 2a) Résoudre sur I l'équation homogène a:y' + ay : 0

2b) Quelles sont les solutions sur I de l'équation homogène :cy' + ay : 0 qui 
admettent
une limite finie en 0 '?

3. Soient a,b deux réels. Justifier que l'équation différentielle 8 admet une 
unique solution
f définie sur I et telle que f ( -----1) = a et f (1) = b. On énoncera 
précisément le théorème
utilisé.

4. Montrer qu'il existe au plus une solution de EUR sur I qui admet une limite 
finie en O.

5. Soit f une fonction développable en série entière ; son rayon de convergence 
noté R est
supposé non nul. On note (az--)OEN les coefficients de f :

Vac EUR] -- R, R[, f(oe) = z a.æi.
z"=0

5a) On suppose que f est solution de l'équation différentielle 5 sur ] -- R, 
R[. Exprimer les
coefiicients (ai)iEURN en fonction des coefficients (Üi)z'EURN de F. Que peut 
on dire alors de

R'?

5b) Réciproquement, démontrer que 8 admet une unique solution développable en 
série
entière sur R. On introduira la série entière :

dont on déterminera le rayon de convergence.

5c) Au vu des résultats précédents, quelles précisions peut--on apporter à la 
question 4 '?

6. Dans cette question, V:): E R, F (:D) : eoe .
6a) Soit il: EUR]0, +oo[ ; démontrer que l'intégrale f0æ ta_1etdt est 
convergente.

On définit h sur ]0, +oo[ en posant :
1 CC
Vac EUR]0,+oo[, h(oe) : --/ ta_1etdt.
()

6b) Montrer que il est solution de l'équation différentielle 8 sur ]0, +oo[.

6c) Montrer que h(a:) admet une limite finie lorsque oe tend vers 0 par valeurs 
positives.
Déterminer cette limite.

Gd) En déduire que :

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur R2 :

f(oe, y) = 5123 -- 8oe(1 + y2).

Dans l'exercice, on considère le disque unité D et le cercle unité C :

19={(æ3.y)6R2lil?'+y2 < 1}, C: {(oe,y) EURR2 |:I:2+y2 : 1}. 1. On se propose d'étudier les éventuels extrema locaux de f. la). lb). lc). 1d). le). H). Justifier que f est de classe C°° sur R2. Calculer les dérivées partielles % et % de f au point (oe0,yo). Démontrer que les peints (SEQ, yo) tels que %£(:m, yo) : 0 et %£(oe... yo) : 0 sont exacte-- ment les points (1, O) et (--1,0) . Effectuer un développement limité à. l'ordre 2 de la fonction (h, k) >--> f (1 
+ h, k) au
voisinage de (0,0). Le point (1, O) est--il un extremum local de f ? Si oui, 
est--ce un
minimum ou un maximum local '?

De même, le point (--1,0) est--il un extremum local de f ? Si oui, est--ce un 
minimum
ou un maximum local '? Justifier votre réponse.

Quels sont les extrema locaux de f ? On énoncera avec soin le théorème utilisé.

2. Désormais, soit 9 la fonction définie sur le disque unité D par g(oe, y) = 
333 ---- 3æ(1 + y2).

Za).
2h).
2c).

Qd).

Justifier que g admet un maximum A et un minimum a sur D.

Démontrer que A ne peut être atteint que sur le cercle C .

Montrer que, Vt E R, g(cos t, sin t) = 2 cos t(2 cos2 t -- 3). En déduire la 
valeur de A et
les points de C sur lesquels f atteint cette valeur.

Déterminer la valeur de a et les points de C sur lesquels g atteint cette 
valeur.

Exercice 3

Soit n un entier naturel 2 1. On considère Jn la matrice de taille n à 
coefficients réels dont tous

les coefficients sont égaux à % :

1 1 1
H 5 H
1 1 1
1 1 1

Le vecteur de R" dont toutes les coordonnées sont égales à. 1 est noté v.
1. Montrer l'égalité Jnv : v.
2. Déterminer l'image de Jn. Quelle est la dimension du noyau de J,, '?

3. Calculer Jä.

4. Montrer que J,, est diagonalisable. Expliciter ses valeurs propres et pour 
chacune, préciser
la multiplicité.

Soit M une matrice de taille n à coefficients réels.

5. Dans cette question, on considère l'équation 8 d'inconnue le réel £L' :
det(M + {BJ,--,) : 0 (8).
On note 85 l'ensemble des solutions de l'équation EUR .

(a) Lorsque M = 0, la matrice nulle, déterminer 85.

(b) Lorsque M = I , la matrice identité, montrer que 85 est réduit à. un unique 
élément.
Préciser cet élément.

(c) On suppose M inversible. Soit 56 E R.

(i) Montrer qu'un vecteur W dans le noyau de M + £L'Jn est colinéaire au vecteur
M "lv. '

(ii) Soit W : M"1v. En notant a la somme des coordonnées du vecteur M"1v,
démontrer l'équivalence :

(M+oeJn)w : 0@ (1+oe%) : 0.
En déduire que 85 est au plus de cardinal 1. Pour quelle valeur de a, 
l'ensemble 55

est--il vide ?

(d) On se propose de déterminer 85 lorsque M est non inversible.

(i) Montrer que 55 est non vide.

(ii) S'il existe un réel b tel que M + (Un est inversible, établir une 
bijection entre Sg
et l'ensemble des solutions de l'équation (F ) d'inconnue oe, définie par :

det(M + un + æJn) = 0 (f).

(iii) Conclure.

6. Soit f la fonction de la variable réelle :1: définie en posant :

f(æ) : det(M + :):Jn).

(a) Démontrer qu'il existe des réels & et 5 tels que : Væ E R, f (a:) : oz + 
335. Expliciter &
et fl en fonction de M et des coefficients de la comatrice de M.

On rappelle que la comatrice de M est la matrice dont le (i, j)-ème coefficient 
est le
déterminant de la matrice obtenue en retirant a M sa i--ème ligne et sa j--ème 
colonne,
multiplié par (--1)'+3 , pour tous les indices z' et j dans {1,...,n}.

(b) Retrouver ainsi les résultats de la question 5.