e3a Maths B MP 2008

 

E' 23
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B MP
Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

LK57

E 3 a
CONCOURS ENSAM -- ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP
Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I

1. On considère la fonction g de variable réelle définie par : g(u) : 01 là 162 
sin(t u) dt.
(a) Montrer que la fonction g est définie sur R.
(h) Déterminer, pour tout u > 1, un réel ou dans ]0,1[ tel que : /aî JÎÎ--ÎÏÎ 
dt : ----\--ËÎ
(c) Dériver t r----> 1t_ t2 et intégrer par parties [0% \/ÏÎ_ÎZÎ sin(t u) dt 
pour en déduire que :
Vu > 1, |g(u)l $ --\Î----Ü
2. Soit f la fonction 27r-périodique sur R dont la restriction à ] ---- 7r, 7r] 
est représentée dans un repère

orthonormal (O, ?, ?) par le demi--cercle de centre O, de rayon W et 
d'ordonnées positives.

(a) Pour tout oe EUR ] --- 7r, 7r], donner l'expression de f (gr) en fonction 
de a:.

(b) Énoncer le théorème de DIRICHLET. S'applique--til à la fonction f '?

3. (a) Exprimer, pour n 6 N, les coefficients de FOURIER trigonométriques de f 
notés an et b,,.

2
(b) Montrer que : Vn E N'", a,, : -7-OE-- g(7r n).

4. (a) Établir la convergence normale de la série de FOURIER de f. Cela 
contredit-il le 2°b ?
(b) Montrer à l'aide du théorème de PARSEVAL que la série de FOURIER de f 
converge vers f.

Exercice II

Soient les fonctions f : R2 ---> IR de classe %"2 telles que : V(a:, y) EUR R2, 
f (56, y) 74 0, ainsi que l'équation :

82 f Ôf ô'f

1. (a) Montrer qu'une telle fonction f vérifie l'équation (EUR ) si et 
seulement si il existe une fonction
réelle @, de classe "61 sur R, telle que :

V(w,y) 6 R2, â--£-- (...) == a<æ> f<æ,y>.

(b) En déduire que les solutions de (EUR ) ne s'annulant pas sont exactement 
les fonctions de la
forme (a:,y) +---> _go(æ) My), où cp et gb sont des fonctions de classe 'EUR2 
sur R ne s'annulant
pas. Pour une telle solution f de (EUR ), y--a--t-il unicité du couple (cp, @) ?

(c) Soient g et h deux fonctions de classe (62 de R dans R* et telles que g(0) 
: h(0).

Montrer qu'il existe une et une seule solution f de (EUR ) ne s'annulant pas et 
telle que :
Va: EUR IR, f(æ,0) = 9(OE) et W} EUR R f(0ay) = h(y)-

2. Dans cette question, f désigne une solution de EUR sur R2, strictement 
positive.

(a) Montrer que f présente en (oe0,yo) un maximum local si et seulement si les 
fonctions
a: +---> f(æ, yo) et @) +----> f(æ, yo) présentent respectivement en 330 et en 
yo un maximum local.

(b) En déduire que l'ensemble des points de llEURä2 où f présente un maximum 
local est de la forme
A >< B, où A et B sont deux parties de lR a préciser. 3. Soit maintenant la fonction F : R2 ----> R définie par : V(oe,y) EUR lR2, 
F(oe,y) : (:ry)3 + loeyl3.
(a) Montrer que F est de classe %? sur R2. (On pourra écrire F comme une 
composée).
(b) Démontrer que F vérifie l'équation (é' )
(c) Montrer qu'il n'existe pas de fonctions < D, HH' : Oh { MN. On a donc HH' : min{MN| (M, N) E A >< D} : d(A,D) : c'est la distance de A à. D. On rappelle d'autre part que si D est parallèle à. A, la distance de A a D est l'une quelconque des distances NN', lorsque N EUR D et que N ' désigne le projeté orthogonal de N sur A. 3. On note % le cylindre de révolution d'axe A et de rayon 1. (a) Donner une équation cartésienne de (EUR et en déduire que les plans tangents a ce cylindre sont les plans d'équations oe cosw + y sinw : 1, pour ou E ] ---- 71", W]. (b) Montrer que toute droite D telle que d(A, D) = 1 est incluse dans un plan tangent a %" . (c) Réciproquement, toute droite D incluse dans un plan tangent a % vérifie--telle d(A, D) = 1 ? 4. Soit A' une droite parallèle à. A et telle que d(A, A' ) == 1, coupant le plan Il en un point O' . (a) Soient, dans le plan II, les cercles I' et I" de rayon 1 et de centres respectifs O et O' . Déterminer dans ce plan les tangentes communes à F et I". _; _) (On pourra au besoin considérer le plan Il comme orienté par la base ( z , ] ).) (b) Décrire précisément l'ensemble des droites affines D de E telles que d(A, D) : d(A' , D) = 1.