ENS Maths C MP-MPI (ULSR) 2023

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2023

VENDREDI 21 AVRIL 2023
08h00 - 12h00
FILIERES MP et MPI
Epreuve n° 9
MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Définitions et notations
Soit d P N° un entier strictement positif.
, On dit qu'une partie A d'un espace vectoriel normé est relativement compacte si elle est
incluse dans un compact.
, Sur Rd , on notera x., .y le produit scalaire usuel, défini par xx, yy "

d

i"1 xi yi pour tous

x " px1 , ¨ ¨ ¨ , xd q et y " py1 , ¨ ¨ ¨ , yd q. On notera également } } la norme associée à ce
produit scalaire.
, Pour K  Rn un compact, on note CpK, Rd q l'espace vectoriel des fonctions continues de
K dans Rd que l'on munit de la norme }f }8 " supxPK }f pxq}.
, On dit qu'une partie A de CpK, Rd q est équicontinue en x P K si :
@  0, Dr  0, tel que @f P A, @y P Bpx, rq, }f pxq ´ f pyq}  
où Bpx, rq désigne la boule ouverte de Rn centrée en x et de rayon r.
On dit que A est équicontinue si elle est équicontinue en tout point x P K.

On s'intéresse dans tout le sujet au problème de Cauchy suivant :
#
y 1 ptq " F pyptqq
yp0q " yinit

(1)

avec F une fonction sur  un ouvert de Rd à valeurs dans Rd et yinit P .
On dit que ce problème de Cauchy admet une solution si il existe T Ps0, `8s et une fonction
 : r0, T rÑ Rd dérivable telle que p0q " yinit , pr0, T rq   et vérifiant 1 ptq " F pptqq pour
tout t P r0, T r. On dit que p, T q est une solution du problème de Cauchy.
On dira que p, T q est une solution maximale du problème de Cauchy (1), si p, T q est une
solution et s'il n'existe pas de solution p, T 1 q qui vérifie T  T 1 et @t P r0, T r, ptq " ptq. Si
T " `8 on dira que  est une solution globale.
Dans tout le sujet on admet que toute solution peut-être prolongée en solution maximale.
Les parties I et II sont indépendantes, la partie IV est indépendante des autres parties.

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I - Premiers exemples
Dans cette partie, on admet que toutes les équations proposées admettent une unique solution
et que celle-ci est globale. De plus on considère uniquement le cas d " 1. Soient a,   0 et
0  yinit  .
1. On considère le problème de Cauchy associé à F0 définie par :
^ 

@y Ps0, `8r, F0 pyq " ay ln
.
y
On note 0 la solution de ce problème sur r0, `8r.
(a) Montrer qu'il existe   0 tel que pour tout t Ps0, s on a yinit  0 ptq  .
(b) En considérant la fonction z0 ptq " lnp0 ptq{q trouver l'expression de 0 .
(c) En déduire que 0 vérifie yinit  0 ptq   pour tout t Ps0, `8r et que de plus 0 est
strictement croissante.
2. Pour 0  µ  1, on considère Fµ définie par :
@y Ps0, `8r,

Fµ pyq "

´ y ¯µ ¯
a ´
y 1´
.
µ
En considérant la fonction zµ ptq " µ ptq´µ trouver l'expression de la solution µ sur
r0, `8r associée à Fµ .
3. (a) Montrer que Fµ converge simplement vers F0 lorsque µ tend vers 0.
(b) Montrer que µ converge simplement vers 0 lorsque µ tend vers 0.

II - Un théorème de compacité
Dans cette section, on considère K un compact de R. On rappelle que l'espace vectoriel
CpK, Rd q est muni de la norme } }8 .
1. Soit k  0 et B l'ensemble des fonctions de K dans Rd qui sont k´lipschitziennes. Montrer
que B est équicontinue.
Soit A une partie de CpK, Rd q. On cherche à montrer dans la suite de cette partie le théorème
suivant :
Théorème 1 : Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
-- (P1) A est relativement compacte.
-- (P2) A est équicontinue et pour tout x P K, l'ensemble Apxq " tf pxq | f P Au est borné.

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2. Montrer qu'une partie A  CpK, Rd q est relativement compacte si et seulement si toute
suite pfn qnPN P AN admet une sous-suite qui converge uniformément vers une limite f P
CpK, Rd q.
3. En raisonnant par l'absurde, montrer que si A est relativement compacte alors A est
équicontinue.
4. Montrer que pP 1q ñ pP 2q.
On suppose maintenant que A vérifie pP 2q. On considère pfn qnPN une suite d'éléments de A.
5. Soit pxp qp0 une suite d'éléments de K.
(a) Montrer qu'il existe une suite pp qpPN de fonctions strictement croissantes de N dans
N telle que pour tout p  0, fp pnq pxp q converge lorsque n tend vers l'infini avec
0 " 0 et p " p´1  p pour p  1.
(b) Montrer que pour tout p  0, fn pnq pxp q converge lorsque n tend vers l'infini.
6. (a) Montrer que l'on peut extraire de la suite pfn qnPN une sous-suite qui converge simplement sur Q X K. On notera pgn qnPN cette extraction.
(b) Pour x P K, montrer que pgn pxqqnPN admet une unique valeur d'adhérence notée gpxq
et conclure sur la convergence simple de la suite pgn qnPN sur K vers g.
7. (a) Montrer que g est continue sur K.
(b) Montrer que la suite pgn qnPN converge uniformément vers g sur K. (Indication : on
pourra raisonner par l'absurde.)
(c) En déduire que pP 2q ñ pP 1q.

III - Existence de solutions
On considère dans cette partie que la fonction F est continue et yinit P . Pour tout r  0,
on note Br la boule fermée de centre yinit et de rayon r.
1. Montrer que l'on peut choisir r  0 et T  0 tels que Br   et tels que pour tout N P N° ,
T
on puisse définir par récurrence, en posant t " N
, une suite pyn q0nN à valeurs dans

Br telle que :
y0 " yinit ,

yn`1 " yn ` tF pyn q, @n P t0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u .

2. Montrer alors que l'on peut construire une unique fonction N continue sur r0, T s, affine sur
chaque intervalle rnt, pn ` 1qts pour tout n P t0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u et telle que N pntq " yn
pour tout n P t0, ¨ ¨ ¨ , N u.
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3. Montrer, à l'aide du Théorème 1, qu'il existe une sous-suite de N qui converge uniformément sur r0, T s vers une fonction continue .
4. Montrer que l'on peut définir une suite de fonctions en escalier N : r0, T s Ñ Rd telle que
N ptq " N ptq pour t P tnt | n P t0, ¨ ¨ ¨ , N uu et telle que :
t
@N P N° , N ptq " yinit `

F pN psqqds pour tout t P r0, T s .
0

On précisera l'expression des fonctions N .
5. En déduire qu'il existe une sous-suite de N qui converge uniformément sur r0, T s et
préciser sa limite.
6. Montrer que p, T q est solution du problème de Cauchy (1) et en déduire le théorème
suivant :
Théorème 2 : Si F est une fonction continue, alors il existe au moins une solution du
problème de Cauchy (1).
7. On considère le cas particulier pour d " 1 donné pour tout y P R par F pyq " 3|y|2{3 et
yinit " 0. Montrer que ce problème de Cauchy admet une infinité de solutions globales.

IV - Inclusions Différentielles
On s'intéresse maintenant à une extension du problème de Cauchy (1). On considère cette fois
F : Rd Ñ Pc pRd q à valeurs dans l'ensemble Pc pRd q des parties compactes de Rd . On considère
alors le problème d'inclusion différentielle défini par :
#
y 1 ptq P Fpyptqq
yp0q " yinit .

(2)

On s'intéresse aux solutions de ce problème qui sont continues et C 1 par morceaux. Pour T P
s0, `8s, on dira que p, T q est une solution de (2) si il existe N P N° et 0 " t0  ¨ ¨ ¨  tN " T
tels que :
(i)  est continue sur r0, T r.
(ii) Pour tout i P t0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u,  soit C 1 sur sti , ti`1 r et 1 admette une limite à droite en
ti et si i  0 une limite à gauche en ti .
(iii) Pour tout i P t0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u et tout t Psti , ti`1 r, on a 1 ptq P Fpptqq.
(iv) Pour tout i P t0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u, lim 1 ptq P Fppti qq et si i  0, lim 1 ptq P Fppti qq.
tÑt`
i

tÑt´
i

(v) p0q " yinit .
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On utilisera comme dans le cas du problème (1) les notions de solutions maximales et globales.
1. Montrer que si pour tout compact K  Rd , il existe CK  0 telle que F vérifie :
@x, y P K, @vx P Fpxq, @vy P Fpyq,

xvx ´ vy , x ´ yy  CK }x ´ y}2

(3)

alors, le problème (2) admet au plus une solution maximale. (Indication : On pourra
regarder }Xptq ´ Y ptq}2 pour X et Y deux solutions)
Dans toute la suite, on considère le problème d'inclusion différentielle donné par d " 2 et
F : R2 Ñ Pc pR2 q définie pour tout x " px1 , x2 q P R2 par :
$
´
'
&tv u
Fpxq " tv ` u
'
% ` ´
rv1 , v1 s ^ rv2` , v2´ s

si x1  0
si x1  0 ,
si x1 " 0

où v ´ " pv1´ , v2´ q P R2 et v ` " pv1` , v2` q P R2 avec v1´  v1` et v2´  v2` .
2. On pose v ´ " p1, 2q et v ` " p´1, 2q.
(a) Montrer que F vérifie la condition (3).
(b) On choisit yinit " p0, 0q. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit yinit " p1, 0q. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
3. On pose v ´ " p0, 1q et v ` " p1, 1q.
(a) Montrer que F ne vérifie pas la condition (3).
(b) On choisit yinit " p1, 0q. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit yinit " p0, 0q. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).

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