ENS Maths D MP (U) 2023

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

JEUDI 20 AVRIL 2023
08h00 - 14h00

FILIERE MP - Epreuve n° 7

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 6 pages, numérotées de 1 à 6.

Début de l'épreuve.
Notations et conventions :

Soit À un anneau commutatif dont on note 1 l'élément unité. Par conven-
tion, on pose +° = 1 pour tout x de A. On rappelle que À est dit intègre s'il
n'est pas réduit à {0} et si l'égalité xy = 0 avec x,y EUR À implique + = 0
où y = 0. Tout anneau intègre est un sous-anneau de son corps des fractions
Frac À.

On note Z[X,..., X,] l'anneau (dont on supposera connu qu'il est intègre)
des polynômes en n indéterminées à coefficients entiers. Un tel polynôme
s'écrit par définition de manière unique comme une somme finie de monômes
de la forme QXPXE. Xi avec à EUR Z (où les multi-indices (à1, 42, ...,1,) EUR N°
sont deux à deux distincts) ce qui permet pour tout anneau commutatif
À et tout élément F EUR Z[X:,...,X,] de définir une fonction (a,....., a) +
F(a,.....,a,) de 4 dans À.

Si À est un anneau commutatif et r,s des entiers strictement positifs, on
note M,,(A) le groupe additif des matrices à coefficients dans À possédant
r lignes et s colonnes et pour tout entier n > 0, on note M,(4) = M, (A)
l'anneau des matrices carrées de taille n à coefficients dans À. On note 1, la
matrice identité de M,(4). Soit M EUR M,(A), on note M la transposée de la
comatrice de M. On rappelle que si À est un corps, on a :

MM = MM = (det M)L,,

et également dans ce cas det(MN) = det M.det N pour toutes matrices
M, N de M,(A). Si E est un espace vectoriel sur un corps commutatif X, on
note E" le dual de E; pour tout sous-espace vectoriel F de EY, on note F1
le sous-espace de Æ constitué des vecteurs + tels que u(x) = 0 pour tout u
de F.

Soit (47, +) un groupe abélien. On dit que M a la propriété (F) s'il existe
une partie finie S'de À telle que S engendre le groupe M. Si À est un anneau,
on dit qu'il a la propriété (F) si son groupe additif (A, +) a cette propriété.

Soient À un anneau commutatif et S une partie de À. On note A(S) l'en-
semble des éléments + de À qui s'écrivent comme un polynôme à coefficients
entiers en des éléments de S, c'est-à-dire des x EUR À tels qu'il existe un entier
r > 1, des éléments s1,...,8, de S, et un polynôme F EUR Z[X:,...., X,] tels que
æ = F(s1,..,8,). L'ensemble A(S) est un sous-anneau de À (on ne demande
pas de le vérifier). On dit qu'un anneau commutatif À a la propriété (TF)
s'il existe une partie finie S de À telle que À -- A(S).

Le but général du problème est d'étudier des propriétés de finitude dans
les groupes abéliens et les anneaux commutatifs qui étendent la notion d'es-
pace vectoriel de dimension finie (parties I et IT), puis d'en déduire des appli-
cations aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque
(parties III et IV). La partie V (indépendante des autres) détermine la di-
mension maximale de sous-espaces de matrices dont tous les éléments sont
de "petit" rang.

Les diverses parties du problème sont très largement indépendantes les
unes des autres; il est autorisé d'admettre le résultat d'une question pour
résoudre une question ultérieure.

Partie I : Exemples et contre-exemples pour les pro-
priétés (F) et (TF)

1. Soit À un anneau commutatif. Montrer que si À a la propriété (F),
alors il a la propriété (TF).

2. Soit À un anneau commutatif. Soient Sï et S> deux parties de À telles
que Si EUR A(S2). Montrer que A(S;) EUR A(S:).

3. Montrer que tout groupe abélien fini et le groupe additif Z' pour
r EUR N* ont la propriété (F).

4. Montrer que si n est un entier strictement positif, l'anneau Z[X, ...., Xl]
a la propriété (TF), mais pas la propriété (F).

5. Montrer que l'anneau Q des nombres rationnels n'a pas la propriété
(TF).

Partie II : Comportement des propriétés (F) et (TF)
vis à vis des morphismes

1. Soit f: À -- B un morphisme d'anneaux commutatifs. Soit F un élé-
ment de Z[X:,..., X,]. Montrer qu'on à CF (a, an)) = F(f(a),..., f(an))
pour tous &1,......, an EUR À.

2. Soit B un anneau commutatif. Soient n un entier strictement positif
et b1,....,b, des éléments de B.

a) Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux f de Z[X1,..,X,]
dans B tel que f(X;) = b; pour tout à EUR {1,.., n}.

b) En déduire que B a la propriété (TF) si et seulement s'il existe un
entier n > 1 et un morphisme surjectif d'anneaux Z[X,, À] -- B.

c) Montrer qu'un groupe abélien M a la propriété (F) si et seulement s'il
existe un entier r > 1 et un morphisme surjectif de groupes Z' -- M.

2
d) Soient À et B des anneaux commutatifs tels qu'il existe un morphisme
surjectif d'anneaux de À vers B. Montrer que si À a la propriété (TF), alors
il en va de même de B. Énoncer et démontrer un énoncé analogue pour la
propriété (F).

3. Soit M un sous-groupe additif de Z" avec n EUR N (on convient que Z°
est le groupe trivial). On se propose de démontrer par récurrence sur n le
résultat suivant :

(*) Il existe r EUR N tel que le groupe abélien A soit isomorphe à 7".

a) Vérifier les cas n = 0 et n = 1. On suppose maintenant le résultat vrai
pour n--1. Soit p: 2" -- Z la projection sur la première coordonnée, on note
N le noyau de p et N = MANN, puis on pose p(M) = aZ avec a EUR Z. On
choisit e, EUR M tel que p(e1) = a. Montrer que si a £ 0, alors l'application

NMx2---M,{(xm)r x +me

est un isomorphisme de groupes.

b) En déduire (*).

c) Montrer que l'entier r tel que A soit isomorphe à Z" est unique (on
pourra considérer le rang d'une famille de vecteurs de 7" dans le Q-espace
vectoriel Q").

4. Montrer que si un groupe abélien M a la propriété (F), alors tout
sous-groupe de M l'a également.

5. On considère l'anneau À = Z[X, Y]. Soit U l'ensemble des éléments de
A de la forme XY* avec k EUR N, on pose B = A(U). Soit S une partie finie
de B.

a) Montrer qu'il existe m EUR N* tel que A(S) C A({X, XY,.., XY}).

b) Montrer qu'il existe un entier N > 0 tel que tout élément de A(S) soit
somme de monômes de la forme a X'Y7 avec a EUR Z et jÿ  s. Pour cela, on raisonne par l'absurde en
supposant r < 5. a) Montrer qu'il existe une matrice N EUR M,.,.(À) telle que MN = 1,. b) On définit des matrices de M,(A) par blocs : M=(M 0) "(9 Autrement dit, M, est la matrice obtenue en ajoutant s -- r colonnes nulles à AZ et N\ est la matrice obtenue en ajoutant s -- r lignes nulles à N. Calculer M, N.. c) Aboutir à une contradiction et conclure. d) On suppose que r = 8. Montrer l'équivalence des propriétés suivantes : i) L'application « est surjective ; äi) Le déterminant det M appartient à 4*; üi) Il existe N EUR M,(A) telle que MN = NM =1,. iv) L'application u est bijective. Partie IV : Équivalence de matrices de M,(Z) et M,(C) Dans toute cette partie, on désigne par r et s des entiers strictement positifs. Soit À un anneau commutatif non réduit à {0}. On note GZ,(A) l'ensemble des matrices de M,(A) qui vérifient les propriétés équivalentes de la question IL.3.d). 1. a) Montrer que la multiplication des matrices induit une structure de groupe sur GL,(A). b) On définit une relation sur M,,(A) par M + N si et seulement s'il existe U EUR GL,(A) et V EUR GL,(A) telles que N = UMV. Montrer que c'est une relation d'équivalence. On dit que deux matrices M et N de M,,(A) sont A-équivalentes si Me N.Si M EUR M,,(2) et k est un entier au plus égal à min(r,s), on note mx(M) le pgcd des mineurs de taille k de M. 2. Soient M et N deux matrices Z-équivalentes de M,,(Z). Montrer que pour tout & < min(r,s), on à m&(M) -- myx(N) (on pourra commencer par montrer que m,(M) divise me(N)). 3. On concidère deux matrices de A/(Z) qui sont C-équivalentes. Sont- elles toujours Z-équivalentes ? Partie V : Sous-espaces de M,(C) constitués de ma- trices de petit rang Soient r et m des entiers strictement positifs avec r < m. On considère un sous-espace V du C-espace vectoriel M,,(C). Dans toute la suite, on fait l'hypothèse suivante : tout élément de V est une matrice de rang au plus r. Le but de cette partie est de démontrer qu'on a alors l'inégalité : dim V < mr. 1. Montrer qu'on peut supposer que V contient la matrice-bloc : I. 0 (io) Dans toute la suite, on fera cette hypothèse. 2. a) Soit B un élément de V, qu'on écrit sous la forme d'une matrice- bloc : Bu By B = Fe Bo où les quatre matrices B11, B:2, Bx, Ba sont respectivement dans M,(C), Mm-r(C), Mn-rr(©C) et Mn-r(C). Montrer que Bx> = 0 et Bn Bio = 0
(on pourra considérer les mineurs de taille r + 1 de la matrice 4A + B pour
te C).
b) Soient B et C' deux matrices de V, qu'on écrit sous forme de matrices-
bloc comme ci-dessus :

_fBu Bw\. __fCu Cu
fn D): c= (ao)

ct
Montrer que B21Ci2 + Co Bi9 = 0.
3. On note W l'intersection de V avec le sous-espace de M,,(C) constitué
des matrices-bloc de la forme
0 0
Ba 0

On définit une application linéaire & de M,,(C) dans M,(C) par

Bu Bi
: (Bi Bi
p Fa Fu ( 11 12)

(avec les notations de V.2 a)).
a) On écrit toute matrice C' de M,m(C) sous forme d'une matrice bloc
C-- (Cu Cia) avec Ci EUR M,(C) et Cio EUR Mim-,(C). Soit Y l'application

linéaire de W dans M,,,(C)" qui envoie B = a 1) sur la forme linéaire
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CH Tr(ByCi). Soit s = dim W. En utilisant l'application 4, montrer que
dim(p(V)) < mr --s. b) En déduire que dim V < mr. 4. à) Soient r,m,n des entiers strictement positifs tels que r < n < m. Montrer que si Æ est un sous-espace de M,,,(C) tel que tout élément de E soit une matrice de rang au plus r, alors dim E < mr. b) Donner un exemple de sous-espace E de M,,,(C) vérifiant dim £ = mr et tel que tout élément de Æ soit une matrice de rang au plus r. Fin du sujet.