Mines Maths 1 MP 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERÇNAUTIQUE ET DE L ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATTONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE_ MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENS'IÏM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la c0pie:
MATHÉMATIQUES l-Filière MP.
Cet' enoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être 1me erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Première partie
Le but de cette première partie est d'établir des résultats qui seront utiles 
dans la seconde
partie.

Étant donné un entier n strictement positif (n 2 l), soient S,, et I,, les deux 
réels définis par les
relations ci-dessous :

n--l n--l '
_ 1 . ..
"--Z(îfl;i+j+l) ' I" IdeIO-------- x+y+l

Intégrale I ,,.
1. Calculer, pour toute valeur de l'entier strictement positif n, l'intégrale 
I,,.

2. Déterminer les constantes A, B, C et D figurant dans le développement limité 
de la fonction
n »--+ I,, à l'infini qui s'écrit sous la forme suivante :

I,, =An+B lnn+C+--%--+o(%--).

Somme S,, :
3. Etablir un encadrement du réel S,, à l'aide de I,,.

4. En déduire que la somme S,, est équivalente à l'infini à 2 n ln2.

Soit J,, l'intégrale suivante :

Intégrale J ,, : .
5. Déterminer la relation qui lie l'intégrale J,, au réel $,. En déduire, 
lorsque l'entier n croît
indéfiniment, un équivalent de J,, à l'infini.

Seconde partie.

Soit E un espace préhflberfien réel ; soit (x, y) H (x l y) le produit scalaire 
de cet espace.
La norme d'un vecteur x de E, déduite de ce produit scalaire est notée "x Il.

Étant donné un réel ;: supérieur ou égal à 1 (p 2 l), une suite de n vecteurs 
d'un espace
euclidien E,,, de dimension finie n, x, , x2, x,, est dite p--presque 
orthogonale (en abrégé u--p.o.)
si et seulement si :

i. les vecteurs x1, x2, ..., x,, sont de norme unité,
ii. pour toute suite finie de n réels a,, 02, ..., a,, la norme du vecteur 221 
a, x,-- vérifie la
double inégalité suivante :

n " 2 "
ifZ_ 1 tel
que, pour tout entier n strictement positif, pour toute suite extraite x,,l , 
xk2, x,,, de la suite
(x,,),OEN et pour toute suite finie de n réels a,, az, ..., a,,, la norme du 
vecteur 2221 a,-- xki vérifie la
relation suivante :

n " 2 "
-tzca.->ZS g..., 5u2'-
i-_--_l i=l i=1

Remarque : la suite des indices k,, k2, k,, de la suite extraite ku , xk2, ..., 
xk,,, est une suite
monotone strictement croissante k, < 162 < < k,,. Premières propriétés : Soit E,, un espace euclidien de dimension n. 6. Démontrer que, pour qu'une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, soit une base orthonormée de E ,, il faut et il sulfit qu'elle soit une suite l-presque orthogonale. 7. Démontrer que, si une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, de E,, est u--presque orthogonale, la suite est libre. Un exemple : Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le segment [O, 1 ] ; le produit scalaire de deux fonctions f et g de E est défini par la relation suivante : 1 (fl g) = f°f(x)g(x) dx. Soit (P,, ),,eN la suite des fonctions de E définies par la relation suivante : P.,(x) = J2n +1 x". 8. Démontrer que, bien que la suite des fonctions P,, de norme unité soit libre, la suite (P,, ),,GN n'est pas presque orthogonale. » Soit ( V1, V2, ..., V,,) une suite libre de n vecteurs indépendants unitaires d'un espace eucüdien E ,, de dimension n. SoitM la matrice carrée d'ordre n dont les éléments m ,.]. sont égaux aux produits scalaires des vecteurs V,-- et V,--. Etant donnée une suite de n réels al, az, ..., a... soitA le vecteur de R" de coordonnées a; , az, ..., a,, et W le vecteur égal àla combinaison linéaire des vecteurs V1, V2, V,, avec les coefficients al, az, ..., a,, : A=v 02 ;W=Êa,-V ,--._.l an La suite de vecteurs V1 , V2, ..., V" est p--presque orthogonale : 9. Démontrer l'existence d'une matrice Carrée P orthogonale et d'une matrice diagonale D dont tous les éléments de la diagonale sont différents de O, telles que : M = 'P.D.P. 10. Établir la relation qui lie la norme du vecteur Wau réel 'AMA; 'A désigne la matrice transposée de la matrice colonne A. 11. En déduire que les éléments de la matrice D sont strictement positifs, puis en déduire un encadrement de la norme du vecteur Wà l'aide des valeurs propres de la matrice M et de la norme du vecteur B égal à l'image par la matrice P du vecteurA (B = PA). 12. En déduire que la suite (V1 , V2, ..., V,,) est p--presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réel p. Soit maintenant (V,, ) ,à, une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un espace préhfibertien réel E. Une condition suffisante : 13. Démontrer que, s'il existe un réel et, strictement supérieur à 3 (a > 3 ), 
tel que le produit
scalaire de deux vecteurs VP et Vq soit majoré en valeur absolue par le réel 
rip--'Il, c' est--à--dire :

___1_
KV | V)|< ..., la suite (V,,),,21 est presque ofllrogonale. Deux questions préliminaires : 4 14. Soit f la fonction définie dans le quart de plan [l, oo[ x [l, oe[ par la relation suivante : f(x,y)=____W J2xy"_ y+.ry+l Soit G la fonction, définie sur la demi--droite [1, oo[, par la relation suivante : G(x) = lim f(x, y). y-->ao

Étudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée [1 
, oo[ par les
relations suivantes :

xr--+f(x,l); y+-->f(l,y);G : x»----»limj(x,y);

y----m

y H?_l}læf(&ÿ) ; ly: fo(x,y); fi:= ny(x,y)--

15. Soit 7 un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < 7 < 1). Démontrer l'existence d'une fonction (p,, définie sur la demi-droite fermée [l, oe[, telle que, pour tout réel y de la demi-droite [1, oo[, la relation ci-dessous soit vérifiée : f($ï@)à y) = 7 Démontrer l'existence d'un réel [3 tel que la fonction G, définie ci--dessus, prenne la valeur 7 en ce point : G(fl) = y. Démontrer que ce réel 5 est strictement supérieur à 1 et est un minorant de l'image par (a,. de la demi--droite fermée [1, oo[. Soit (Ph) une suite extraite de la suite des polynômes considérés à la question 8. L'application i +--> k,-- est une suite strictement croissante. Pour simplifier les 
notations, soit Q ,-- le polynôme Pki :

Qi =sz"

Étude de la suite (Q,-- ),>0:
16 On choisit une suite (k ),>0 telle que la suite (Q, ) ..., soit presque 
orthogonale.

Démontrer que le réel # entrant dans la définition de la presque ofihogonaüté 
est strictement
supérieuràl (y > 1).

Démontrer qu'il existe un réel 5, strictement supérieur à 1 (B > 1), tel que, 
pour tout indice i,
les indices k,--_ et k... soient liés par la relation suivante :

ki+l 2 [3 ki-
FIN DU PROBLÈME