A 2007 MATH. I MP
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la
copie :
MATHÉMATIQUES I _ MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives
qu'il est amené à prendre.
Séries et caractères
Dans tout le probléme, N désigne l'ensemble des entiers, Z, l'ensemble des
entiers relatifs et N un entier supérieur ou égal a 2.
L'ensemble des classes d'équivalence pour la division euclidienne par N est
noté Z /N Z. L'élément générique de cet anneau sera noté à. On note P l'en--
semble des éléments de {l, - - - , N -- 1} qui sont premiers avec N. L'ensemble
des éléments inversibles pour la multiplication de Z /N Z est noté (Z /N Z)*.
On rappelle que go, l'indicatrice d'Euler, est telle que g0(N ) représente le
cardinal de P. Si & divise [) dans Z, on notera & i b.
On rappelle aussi le lemme suivant: soit (uk, 16 E N*) et (oz;,, 16 E N*) deux
suites réelles. Si pour tout entier n 2 l, on pose
n
îb:= Ë aka
k=0
alors
WL 7n--1
Z 05kuk = --UnTn--1 + Z Tk(uk -- uk--1)+ umea (1)
k=n k=n
pour n, m entiers tels que 2 S n < m. On rappelle que pour tout a: E] -- l, l], arctan(æ) : Z 2(7;ï)î 33%". (2) n=0 On suppose fixée une application X de Z dans K qui satisfait les propriétés suivantes : A. X(O) : 0 et X non identiquement nul. B. Pour tout a E Z, non premier avec N, X(OE) = 0- C. Pour tous les entiers relatifs @ et b, x(ab) = X(OE)X(b)- D. X est N--périodique: X(a + N) : X(a), pour tout a E Z. I Cas particuliers 1. Calculer x(1). 2. Lorsque N = 2, déterminer x. On suppose jusqu'à la fin de cette partie que N = 4. 3. Montrer que x(3) ne peut prendre que les valeurs 1 ou --1. 4. On suppose maintenant que x(3) : --1. Montrer la convergence et calculer la valeur de la série Il Convergence de la série Z @ 1 Dans cette partie, a est un entier supérieur ou égal à 1 et premier avec N. Pour [{ EUR {1, - -- ,N -- 1}, on désigne par ?} le reste de la division de ak par N. 5. En considérant le produit H ak, montrer que a90(N) -- 1 est divisible kEURP par N. 6. Montrer que lx(a)l : 1. 7. Montrer que les ?} sont deux a deux distincts. 8. Établir l'identité: On suppose dorénavant qu'il existe & premier avec N tel que x(a) # 1. n--l--N--1 9. Pour chaque entier n, calculer Z x(k). k=n On pour... commencer par le cas n = O. 10. Montrer, pour tout m > O, l'inégalité
ZX(@ S @(N )
k=1
. " MM
11. Montrer que la suite 2 T' n 2 1 est convergente.
k=1
III Comportement asymptotique
Pour tout entier n 2 1, on pose
fn : ZX(d)
d|n
12. Soit n et m deux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Mon--
trer que fnm = fnfm-
13. Soit 19 un nombre premier et 04 E N*. Calculer fpa.
14. Pour tout entier n 2 1, établir l'encadrement:
0 S fn S n.
15. Pour tout entier n 2 1, montrer que fn2 Z 1.
16. Déterminer le rayon de convergence de la série
2 fnæn-
n=1
On note f (a:) la somme de cette série.
17. Montrer pour tout a: E [1/2,1[:
1 +00 _u2
f(æ) Z _ e du.
--1n(æ) 1n<2>
On pourra utiliser une comparaison d'une série à une intégrale.
FIN DU PROBLÈME
