Mines Maths 1 MP 2011

A 2011 MATH. I MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Critère de diagonalisation de Klarès
Soit n un entier naturel non nul et M n (C) l'espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients complexes. On note O n la matrice nulle et I n 
la
matrice identité de M n (C). La trace d'une matrice U de M n (C) est notée tr(U 
).
On dit que deux matrices U et V de M n (C) commutent si UV = V U . Une matrice
N de M n (C) est dite nilpotente s'il existe un entier k > 0 pour lequel N k = 
O n .
Dans tout le problème, on considère une matrice A de M n (C) et on note f
l'endomorphisme de Cn canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme
dont la matrice dans la base canonique de Cn est A. Le polynôme caractéristique
de A est noté P et les valeurs propres complexes distinctes de A sont notées
1 , 2 , . . . , r . Pour tout i  {1, . . . , r } on note :
· i l'ordre de multiplicité de la valeur propre i , c'est-à-dire l'ordre de
multiplicité de la racine i du polynôme P ;
· P i le polynôme défini par P i (X ) = (i - X )i ;
³¡
¢ ´
· F i le sous-espace vectoriel de Cn défini par F i = Ker f - i IdCn i ;
· f i l'endomorphisme de F i obtenu par restriction de f à F i .
La partie B, à l'exception de la question 11), est indépendante de la partie A.
La partie C est indépendante des parties précédentes.

A. Décomposition de Dunford
1) Justifier que l'espace vectoriel Cn est somme directe des espaces F i :
Cn =

r
M

Fi .

i =1

2) En considérant une base de Cn adaptée à la somme directe précédente,
montrer que pour tout i  {1, . . . , r }, le polynôme caractéristique de f i est
P i . (On pourra d'abord établir que P i est un polynôme annulateur de f i .)
3) Montrer qu'il existe une matrice inversible P de M n (C) telle que A  =
P -1 AP soit une matrice définie par blocs de la forme suivante :

1 I 1 + N1 0 · · · · · ·
0

..
.. ..

.. . .
0
.

.

.
.
.
A =
.
.
.

..
..
..
.

.
.
0
0
· · · · · · 0 r I r + Nr
où Ni  M i (C) est nilpotente pour tout i  {1, . . . , r }.
2

4) En déduire que la matrice A s'écrit sous la forme A = D + N , où D est
une matrice diagonalisable et N une matrice nilpotente de M n (C) qui
commutent.
Les matrices D et N vérifiant ces conditions constituent la décomposition de
Dunford de la matrice A. Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité
de cette décomposition, c'est-à-dire que D et N sont déterminées de façon
unique par A.
Un exemple pour n = 3 :

3 -1 1
0 1 .
5) Calculer la décomposition de Dunford de A = 2
1 -1 2

B. Commutation et conjugaison
Pour toute matrice B et toute matrice inversible P de M n (C), on note commB
et conjP les endomorphismes de M n (C) définis par :
(
commB (X ) = B X - X B
X  M n (C),
conjP (X ) = P X P -1 .
Le but de cette partie est de démontrer que A est diagonalisable si et seulement
si comm A est diagonalisable.
6) Soit P une matrice inversible de M n (C). Calculer conjP -1  comm A  conjP .
Pour tous i , j  {1, . . . , n}, on note E i , j la matrice de M n (C) dont 
tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la i -ème 
ligne et de la j -ème
colonne qui est égal à 1.
7) Si A est une matrice diagonale, montrer que pour tous i , j  {1, 2, . . . , 
n},
comm A admet E i , j comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des
valeurs propres de comm A .
8) En déduire que si A est diagonalisable, comm A l'est aussi.
9) Montrer que si A est nilpotente, comm A l'est également, c'est-à-dire qu'il
existe un entier k > 0 pour lequel (comm A )k est l'endomorphisme nul
de M n (C).
10) Montrer que si A est nilpotente, et si comm A est l'endomorphisme nul,
alors A est la matrice nulle.
D'après la partie A, l'endomorphisme comm A admet une décomposition de
Dunford de la forme comm A = d + n, où les endomorphismes diagonalisable d
et nilpotent n commutent : d n = nd .
11) Déterminer la décomposition de Dunford de comm A à l'aide de celle de A
et conclure.
3

C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe
Soit p un entier > 0 et E un espace vectoriel de dimension p sur C. On note
E le dual de E , c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur E .
On considère une forme bilinéaire symétrique b sur C, c'est-à-dire une 
application b : E × E - C linéaire par rapport à chacune de ses deux 
composantes (et
non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que b(x, y) = b(y, x) 
pour
tous x, y  E . Si F est un sous-espace vectoriel de E , on appelle orthogonal 
de F
relativement à b le sous-espace vectoriel de E défini par
©
ª
F b = x  E ; y  F, b(x, y) = 0 .

On suppose que b est non dégénérée, c'est-à-dire que E b = {0}.
12) Soit u un endomorphisme de E . Démontrer les implications suivantes :
(i) u est diagonalisable = (ii) Ker u = Ker (u 2 ) = (iii) Ker u  Im u = {0}.
Soit F un sous-espace vectoriel de E , de dimension q, et soit (1 , 2 , . . . , 
q ) une
base de F . Pour tout i  {1, . . . , q}, on note i la forme linéaire sur E 
définie par
i (x) = b(i , x).
13) Montrer que (1 , 2 , . . . , q ) est une famille libre de E  .
On complète cette famille libre en une base (1 , 2 , . . . , p ) de E  et on 
note
(e 1 , e 2 , . . . , e p ) la base de E antéduale (dont (1 , 2 , . . . , p ) 
est la base duale).
14) Montrer que F b est engendré par (e q+1 , e q+2 , . . . , e p ), et en 
déduire la
valeur de dim F + dim(F b ).

D. Critère de Klarès
Le but de cette partie est de démontrer
que ¢la matrice A est diagonalisable si
¡
et seulement si Ker (comm A ) = Ker (comm A )2 .
15) Montrer que l'application  de M n (C) × M n (C) dans C, définie par la 
formule (X , Y ) = tr(X Y ) pour tous X , Y  M n (C), est une forme bilinéaire
symétrique non dégénérée.
¡
¢
16) Établir l'égalité Ker (comm A )  = Im (comm A ).
17) En déduire que si A est nilpotente, il existe une matrice X de M n (C) telle
que A = comm A (X ). Calculer alors comm A+I n (X ) pour tout   C.
Soit D et N les matrices de la décomposition de Dunford de A définies à la
question 4).
18) Démontrer qu'il existe une matrice X de M n (C) telle que N = comm A (X ).
19) Conclure.

F IN DU PROBLÈME
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