Mines Maths 1 MP 2012

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAËRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2012

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

M'lTHÉAMTIQUES I - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les rai--
sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux

Le but du problème est d'étudier la réduction de matrices définies à partir
d'un résultat sur les dénombrements de certaines familles entières, en utilisant
les propriétés des polynômes réciproques.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A. Equations algébriques réciproques

On note R[X ] l'algèbre des polynômes à coefficients réels. Si P EUR R[X], on
note deg(P) son degré. Si n EUR N, R,,[X] désigne le [Ri-espace vectoriel des 
poly--
nômes P EUR R[X] tels que deg(P) S n.

1) Montrer que si n EUR N, l'application un : R,,[X ] --+ R,, [X ] donnée par 
la for--
mule u,,(P) (X) = X "P(%) est bien définie, et que c'est une symétrie.

Un polynôme R de MX] est dit réciproque de première espèce s'il est non nul
et invariant par udeg(R) ; il est dit réciproque de deuxième espèce s'il est 
non nul
et transformé en son opposé par udeg(R). On note 9" (respectivement @) l'en-
semble des polynômes de R[X ] réciproques de première (respectivement de
deuxième) espèce.

2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour
qu'un polynôme non nul de R[X ] appartienne à ? (respectivement à 9).

3) Établir que si R EUR R[X ] est réciproque (c'est-à-dire R EUR 9 U@) et x est 
une
racine de R, alors x est non nul et % est aussi une racine de R. Montrer
par ailleurs que tout polynôme de @ admet 1 pour racine, et que tout
polynôme de 93 de degré impair admet -- 1 pour racine.

4) Étant donné trois polynômes P, Q, R de R[X ] tels que P : QR, montrer que
si deux d'entre eux sont réciproques, alors le troisième l'est aussi. Etablir
un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques.

5) Vérifier que P EUR ? implique (X - 1)P EUR @ . Réciproquement, montrer que
si D EUR @, il existe un unique P EUR 9 tel que D = (X-- DP.

6) Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de 9" de degré
impair dans Rin.

7) Montrer que si 73 E N, alors il existe un unique P EUR R[X] tel que

X"+%=P(X+%)

Quel est le degré de P?
Soit R un élément de R[X ] réciproque n'admettant ni 1 ni ---1 comme racine.

8) Montrer que R est réciproque de première espèce et de degré pair. En
déduire qu'il existe P EUR R[X ] tel que pour tout x E R*, on ait l'équivalence
R(x) : 0 «=> P(x + %) = 0. Y a--t--il unicité du polynôme P ? de deg(P)?

B. Un problème de dénombrement

Si i et j sont des entiers strictement positifs, on note Si,j (respectivement
SQ_J.) l'ensemble des familles u = ( uk) kEUR{0,1,...,i} à valeurs dans N 
telles que u0 : 1
et uo+ u1+---+ui =j (respectivement u0=1 et uo+u1+---+ui sj).

La notation f ] E désigne la restriction d'uneapplication f a une partie B de
son ensemble de départ.

9) Vérifier que SM et 8; ]. sont des ensembles finis et montrer que l'applica-
tion

[
Si+Lj _" Si,]

u *-- ul{0,1,...,i}
est bien définie et bij ective.

Dans toute la suite du problème, on note s...- et s; ]. les cardinaux 
respectifs de
I
Si,]' et Si,j'

'. s' + s'.

! ..
10) Montrerque si z+l,j+l-- "H H......

-- . . , , .
'j+1 - sw+1 + si,]. et en dedu1re que 3

Si p, (7 E N, on note (';) le nombre de parties à c] éléments d'un ensemble à p
éléments.

Il) Prouver que s;. ]. : (i+ê--l) et en déduire la valeur de si,j.

C. Polynôme caractéristique d'un produit de matrices

Si n EUR N*, M ,, (R) désigne la R--algèbre des matrices carrées d'ordre n à 
coef-
ficients réels, d'élément neutre I ,, pour la multiplication. On note GL,,(R) 
l'en--
semble des matrices inversibles de M,,(R). Si M EUR M,,(R), on note det(M) son
déterminant et (I) M son polynôme caractéristique.

Dans cette partie, on démontre que pour tous A, B dans M ,, (R), on a l'égalité

AB = CDBA-
12) Établir le résultat lorsque A est inversible.

13) Conclure en considérant la suite (A -- %]") keN*.

D. Etude spectrale de certaines matrices

Soit 11 EUR N. On considère désormais les matrices S: (s,- ,),11512, ,,,... et 
S' :

(s'.j),--je{12, _,,+1} }de Mn+1(R), où si j et s'. ]. ont été définis dans la 
partie B.

14) Montrer que S est diagonalisable. La diagonaliser pour n = O et 1, et cal-
culer (DS pour n = O, 1 et 2.

15) Montrer que l'application #! : (R,,[XD2 _» R définie par la formule

+00
w(P. Q) = [O P(t)Q(t)e"tdt

est un produit scalaire. On suppose désormais R,, [X] muni de celui-ci.

16) Vérifier que la famille @ : (BO,B1,... .,Bn) définie par B,--= --, est une 
base
de R,,[X] et évaluer 1//(B,-,B,-) pour i,j EUR {O, 1,...,n}. En déduire que S 
est
définie positive. Que peut--on en conclure sur les rangs de 8 et de S' ?

Pour i EUR {O, 1, . . . , n}, on note f,-- : R --> [R l'application définie par 
la formule fi (t) :
le". La notation f (k) désigne la dérivée k-ième d'une fonction f : R ----> R.

17) Pour l' EUR {O, l,...,n} fixé, vérifier que pour tous j,lc EUR N, f;"(t) : 
0(t'k)
quand t --> +oo. Montrer que la formule suivante :

(i)(
f,- ...,

Li(t)=(-- l)i i' e (tER)

définit un polynôme L, EUR R[X] dont on déterminera les coefficients.

18) Montrer que $ : (L0, L1, . . . , Ln) est une base orthonormale de R,, [X]. 
(On
pourra au préalable calculer w(Li, B j) pour j S i.)

On considère l'endomorphisme r de Rn [X] défini par T(P) (X) : P(X --- 1). On
note T sa matrice dans la base canonique (1,X,X2,...,X") et U = T'1 son
inverse.

19) Expliciter T et U et les comparer àla matrice de passage de % à $. En
déduire S en fonction de U, puis les valeurs de det(8) et det(S' ).

On considère la matrice D : (di, j),-, je{1,2,.... ...... de Mn+1(R) définie par

d___ (--1)i+1 sii=j;
"'" 0 sii;£j.

20) Calculer (DU)2 et en déduire que S'1 est semblable à U U t , où U t désigne
la transposée de U.

21) En conclure que CDS est un polynôme réciproque et préciser de quelle
espèce.

FIN DU PROBLÈME