Mines Maths 1 MP 2019

A2019 --- MATH I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Comportement asymptotique de sommes de séries entières
et application à l'équation d'Airy

Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel. On considère la fonction
définie sur C par la série entière

Srp(z) = > mi 27.

L'objectif, dans les parties À et B du problème, est d'établir l'équivalence 
suivante
quand x -- +00 :

TO Lx

TL EUR

(H,,p)

Srp(t) TV

LT -- +o0 D

Cet énoncé est noté (H,,). Dans la partie C, on applique ce résultat à l'étude
asymptotique d'une solution particulière de l'équation d'Airy.

(pn)"

1. Question préliminaire. Justifier que la série entière > : z" a pour
n>1l (pn)!
; . 7 °\ (pn)" pn
rayon de convergence +oco. Qu'en est-il de la série entière > 27

n>l (pn)!

A  Équivalence entre (H,,) et (H,:) lorsque r > 0

On suppose dans cette partie que p > 2 et r > 0, et on se propose de montrer
que les énoncés (4,,) et (H,1) sont équivalents. Pour tous n EUR N et x EUR R*, 
on

pose
T

n

2. Pour x > 0 fixé, étudier le signe de la fonction
Pr:tEll+or "(ft 1) -- x.

En déduire que w, s'annule en un unique élément de |1, +! que l'on note t,.

Montrer que la suite finie (un(x)) cl est croissante et que la suite infinie

(u,(x)) " est décroissante, où |[x| désigne la partie entière du nombre

réel x.

1 TSVP
L'ensemble {u,(x) ; n EUR N} admet donc un maximum égal à u,,,(x). Dans la
suite de cette partie, ce maximum sera noté M,.

3.

Pour tout à EUR R, déterminer la limite de w,(x + à) quand x tend vers +oo.
En déduire que t, --x--7r tend vers zéro lorsque z -- +oo. (On pourra s'aider
de la définition d'une limite.)

Montrer que pour tout entier relatif k, u;11k(t7)vu|:1(x) lorsque x -- +0.
En déduire que pour tout n EUR N et pour tout x au voisinage de +oo,

Lx]
dur) >nu:|(x).

i=|x|-n

En déduire que pour tout entier relatif k,
Ulx|4k(T) = o(x"e*)
quand x -- +oco. Montrer alors que
M; = o(x'e").

(On pourra d'abord démontrer que, pour x assez grand, M, -- u;1:;(x) pour
un entier à compris entre |[r| --1 et [r| +2.)

Soit z un nombre complexe tel que [2] = 1 et z Z 1. Pour tout entier naturel
n non nul, on pose

n--1l
D, = Y 2.
k=--0

Pour tout nombre réel x > 0, comparer $,(zx) à la somme

> D, (un_1(x) -- un(e).

En déduire que pour tout x au voisinage de +co, Sra(zx)] L' ---- et

conclure que lorsque æ -- +00,

Sr1(24) = o(x'e*).

2iT

On pose Ç = exp (2x). Pour tout réel x, montrer que

p--1
Y S,1(Cx) -- D Srp(t)
k=0
et en déduire que les énoncés (Æ,,) et (H,1) sont équivalents.

2
B Une démonstration probabiliste

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé
(Q,.4, P), une famille (Xx)xeR: de variables aléatoires à valeurs dans N telle 
que
X, suive la loi de Poisson de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de 
telles
données dans l'intégralité de cette partie.

Soit un réel r > 0. On pose

À %
Z, =
L
--

et on se propose de démontrer que E(2Z7) -- 1 lorsque x -- +oo.

8. Pour tout réel & > 0, montrer que P(|X,--l > a x?/3) -- 0 quand x -- +0.

9. Montrer que, pour tout réel x > 1, les variables aléatoires
À, -- Lz,c1-2-1/8) 7. et D; -- 17, _11 0, la variable aléatoire

N---1

YN x -- Lx, >2+72/3) II (X> = k)
k=--0

est d'espérance finie et que
PIX, > 2 +208 -- N) = E(Yva)
Déduire alors de la question 8 que E(Y4) = o(x") quand x -- +oo.

11. Montrer qu'il existe des réels a1,...,an tels que pour tout réel x > 0,
N
L(x,>2+22/8) Xe -- > a Yhx
k=1

et en déduire la limite de E(Lz,>14a-1/ ZX) lorsque x -- +00.

12. Démontrer que E(Lz,si4e-1/e 7) -- 0 quand x -- +o. En déduire que
E(Z7) -- 1 quand + -- + et conclure à la validité de l'énoncé AH,

3 TSVP
En combinant les résultats des deux parties précédentes, nous concluons à la
validité de (H,,) pour tout entier naturel p > 0 et tout réel r > 0. Dans la 
suite
du sujet, nous aurons besoin du résultat classique suivant, que nous admettrons 
:

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières. Soit (a, )nen et
(bh)nen deux suites à termes réels. On suppose que :

(i) la série entière 5° b,z2" a pour rayon de convergence +0 :
(ii) les suites (ay )nen et (bn)nen sont équivalentes ;

(iii) il existe un rang no EUR NN tel que pour tout n > no, on à b, > 0.

Alors la série entière Sa, z" a pour rayon de convergence + et

| +00 +00

2 an" ue 2 bna.

Soit un entier naturel p > 0 et un nombre réel r.
13. En remarquant que pour tout réel x > 0,

<@(R+1)) RP TTTEN NES déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que Srp(t) TV LP Sr ppt). T-- +00 En déduire que (H,,) implique (H,_,,) et conclure à la validité de (H,.,). C Application à l'équation d'Airy L'équation différentielle d'Airy (Ai) est définie par a (t) =tax(t). (Ai) 14. Question préliminaire. Soit un réel x > 0. Pour tout entier n > 0, on pose
Un = D_mk+zrlmn-)% ,ln(x + k). Etablir la convergence de la série
D (Un -- Un_1), et en déduire l'existence d'un réel l'(x) > 0 vérifiant la 
formule
d'Euler : |

_ n°n!

k) em ----
15. Justifier qu'il existe une unique solution f de (Ai) sur R vérifiant f(0) = 
1

et f'(0) = 0.
16.

17.

18.

+00
Expliciter une suite (a,),en telle que pout tout réel #, f(#) = à ast".
n--=0

[(2\n1/3 T'(2
(4) ; puis que agnron 1/5 (4)

9 (De Ve

2\2 I
(5) gr oran

Démontrer que a3n7

nm -- +o0.

En déduire une constante C', que l'on exprimera à l'aide de T(), telle que

t-- +00

ft) = Ctrl exp(s #2).

FIN DU PROBLÈME