A2024 --- MATH I MP
Cm
Concours commun
Mines-Ponts
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun
Mines Ponts.
Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application
Le but de ce sujet est de calculer l'intégrale de Dirichlet généralisée
[" 1 -- (cos() 4
12
et d'utiliser ce calcul pour évaluer une espérance.
Partie | : Calcul d'une intégrale
Dans tout ce qui suit, x est un élément de [0; 1| fixé.
15> Montrer que pour tout 0 EUR]-r;7|, la fonction f définie par
f :10;+o! --> C
Ft 1
tr
1 + teio
est définie et intégrable sur |0; +oo|.
Soit 7 la fonction définie par
r:l---r;r| -- C
+00 ft-- l
0 |
1 + Foi0
2 > Montrer que la fonction r est de classe C} sur ]--7 ;T| et que :
1°
1 + teiv)?
VO El-rn|, r'(0) = --ie ["
Indication : soit 8 EUR]0;r|, montrer que pour tout 0 EUR |---B; 5] et t EUR
[0, +oo,
1 +te ff > 1 +tefl = (+ cos(8)) + (sin(8))°.
Soit g la fonction définie par
g':l-r;r| -- C
Q + es |
+00 Ft 1
-- dt
o 1 + teio
3 > Montrer que la fonction g est de classe C! sur | -- x; | et que pour tout 4
EUR] --7;7|,
. +00
g/ (0) = iei®t | h'(+) dt,
0
où À est la fonction définie par
h :]0; +o[ --> C
1°
tr T
1 + teit
Calculer (0) et
lim A(t).
t-- +00
En déduire que la fonction g est constante sur | -- T;7T|.
4 > Montrer que pour tout 0 EURl0;7|,
1 +00 L"
D} sin(6) = > (9(-0)e"? -- g(0)e *?) = sin(9) | dé.
9(6)sin(at) = (9(-0e -- g(6)e 7) = sin | + 24 cos(8) + 1
5 > En déduire que :
+o0 (u sin(Y) -- cos(0))
p ejo: O)sin(@e) = | du.
Y Eloi r 9 ) sin( oe) cotan(@) 1 +u? "
où cotan(0) -- nn
sin
6 > Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
+ du
lim g(ô)sin(xô) -- | ------.
0--T-- 9 oo 1 + u?
7 > En déduire que
+oo 4% | T
| dé = 7 --.
o l+4t sin(Tx)
Partie 11 : Une expression (utile) de la fonction sinus
On rappelle que x est un élément de |0; 1] fixé.
8 > Montrer que
+00 Ft 1 1 Ft 1 FT
| dt = | ( + --) dt.
0 1+1 0 \l+t 1+1
9 > Montrer que :
1 ft +00 _71Y*
| =! }"
o l+4 ok tx
10 & Établir l'identité
[" AL. d s (--1)" h s (--1)"
1+4 on +x n+lir
11 > En déduire que l'on a
m1 X2(-1)"x
sin(rx) x Z n--71?
Partie IT : Calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée
13 > Montrer que l'intégrale
2p+1
+oo | -- | COS(É
| cos) à,
0 t?
converge et que :
[" _ (cost) dt = (2p +1) [" (cos(b)" sin(#) dé.
14 > Montrer que pour tout n EUR N* :
[7 (cos(#))" sin() dt -- [° (cos(#)" 2C1+si() dt.
t 12 -- n?r?
15 > En déduire que :
L° ( cos(#)}" sin(é) 4, _ f° CON CD: no) dt.
(A
16 > En déduire que :
[" (cos(t))" 0 dt -- [" (cos(t))" dé.
Dans le cas p = 0, cette intégrale est communément appelée "Intégrale de
Dirichlet"
17 > Montrer que :
(cos(#)}? = _ 1H + D () cos(2(p -- 1) |
it, .--it\ 2
Indication : On pourra développer (ete) 7.
18 > En déduire que :
2p+1
+00 1 -- (cos(t)) | r (2p + 1)!
| dt = T |
0 t° 2 22P.(pl)?
Partie IV : Calcul de E(|S;|)
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé
(Q,.4, P).
Soient (X}z)ren+ des variables aléatoires indépendantes, de même loi donnée par
:
P(X; = --1) = P(X; =1) =
Pour tout n EUR N*, on note 5, = 5° À.
k=1
19 & Déterminer, pour tout n EUR N*, E(S,) et V(S,).
Soient $ et 7' deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un
nombre
fini de valeurs réelles. On suppose que 7 et --T" suivent la même loi.
20 > Montrer que :
E( cos(S + T)) -- E{ cos(S)) E{ cos(T)).
21 > En déduire que pour tout n EUR N*, et pour toutt EUR R :
n
E{ cos(t5,)) -- (cos(t))
22 & Soient a,b E R tels que a Z 0 et |b] < [a]. Montrer que ja + b] = |al + signe(a) b où signe(x) = x/|x| pour x réel non nul. En déduire que : Vn EN, ES») = E(|Sm1l). 23 > Montrer que pour touts EUR R
[ 1 -- cos(st) u-T
0 t? 2
24 > En déduire que pour tout n EUR N* :
E(|5;|) -- cf _ (cos(®) dé.
+
25 > Conclure que :
VnEN", E(|S]) = E(|Sm 1) = -- 270:
2n-2{(n -- D)
FIN DU PROBLÈME
