Mines Maths 2 MP 2005

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

EPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME EPREUVE
Filière MP

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, EN ST IM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant

les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soient A et B deux matrices symétriques de M,, (IR) dont les valeurs
propres sont notées respectivement (ak, 1 5 [<: _<_ 77) et (b,... 1 _<_ !: _<_ n), répétées suivant leur multiplicité. On veut démontrer l'inégalité: det(A + B) < ;2äî H(...c + b,...) (1) où 6" désigne le groupe des permutations de l'ensemble { 1, - - - , n}. Notations On note par ||." la norme euclidienne canonique sur R" et on munit M,,(IR) de la norme matricielle subordonnée que, pour alléger les notations, on notera aussi II.". Pour toute matrice carrée M, on note M t sa matrice transposée, det(M ) son déterminant et tr(M ) sa trace. La matrice identité de M,,(IR) est notée I. Une matrice M E M,, (IR) est dite symétrique (respectivement anti- symétrique) lorsque M = M t (respectivement M t = ----M ) On note Sn (respectivement AT,) le sous--espace vectoriel des matrices symétriques (res-- pectivement anti--symétriques). Résultats admis On admet les propriétés suivantes: P1 -- Si A et B sont deux matrices diagonalisables et si elles commutent, il existe une base de diagonalisation commune à. A et B. P2 -- Si A et B commutent alors exp(A + B) = exp(A) exp(B). I. Préliminaires 1) Montrer que M=n(IR) Sn EB An 2) On note (EQ--J), (i,j) EUR {1,---- , n} >< {1,--- , n}) la base canonique de Mn(]R.). Pour M EUR M,,(IR), expliciter tr(ME(m-)) en fonction des coefficients de M. 3) Soit M EUR Mn (IR) telle que pour toute matrice T EUR A... tr(M T) = 0. La matrice M est--elle symétrique ou anti--symétrique? 4) Soit T EUR A... montrer que eT est orthogonale. 5) Soit M EUR Mn(IR). Montrer que, pour s au voisinage de O, e'9M : l+sM + O(s2). (2) 6) Soit M EUR Mn(lR). Pour j EUR {0,- - --- ,n}, on note cry--(M) le coefi'icient de Xj dans le polynôme caractéristique de M : n , det(M -- X 1) = }: aj(M)xf . j=o _ Montrer que pour tout j EUR {0,. . . ,n}, l'application (M l--> aj(M )) est

continue.

7) Soit M EUR Mn(lR). Montrer que pour s au voisinage de O,
det(I +sM) : 1 + s tr(M) + O(s2),

et que
det(l +sM + O(sZ)) : l + s tr(M) + O(s2). (3)

8) On suppose que M EUR Mn(lR) n'est pas inversible. Construire une ma--
trice No de MMC) telle que, pour tout s > 0, on ait det(M + sNo) > O.

9) Montrer que l'on peut choisir No, à coefficients réels, diagonalisable (res--
pectivement symétrique) si M est diagonalisable (respectivement symé--

trique) .

II. Démonstration de l'inégalité (1)

On rappelle que A et B sont des matrices réelles symétriques.
10) Montrer que si les matrices A et B commutent alors il existe 0 EUR 6,1

telle que:
det(A + B) = H(.... + (...)).
k=1

11) Soit On l'ensemble des matrices orthogonales de Mn(lR). Montrer que
On est une partie compacte de Mn (IR).

12) Pour tout M & Mn(lR), on considère la partie On(M ) de Mn(lR) définie
par
On(M) = {UMU"; U <=. on}. Montrer qu'il existe Bo EUR On(B) telle que det(A + Bo) : sup det(A + C'). CEOn(B) II.1 A + Bo inversible De cette question a la question 17, on suppose que A + Bo est inversible. Pour T E An et pour tout réel 3, on définit rpg--(s) par tpT(s) = det (A + eSTBOe_3T) . 13) Montrer que pour s au voisinage de 0, on a «pc,--(s) : det(A+Bg) [1 + s tr ((TBO - BOT)(A + Bo)"1)]+0(52). (4) 14) Montrer que pour tout s réel, on a ng(s) S wT(O). 15) Montrer l'égalité suivante: tr(TBO(A + Bo)--l) : tr(T(A + Bo)--1Bo). (5) 16) Montrer que BO commute avec (A + BO)"1 et A. 17) Montrer l'inégalité ( 1). II.2 A + Bo singulière On suppose dorénavant que A + Bo n'est pas inversible. 18) Montrer qu'il existe deux suites de Mn(lR), (BIC, k > O) et (N,... k > O)
telles que

(i) Nk converge vers Bo quand k tend vers +00,

(ii) Bk EUR O,,(Nk) pour tout k > 0,
(iii) det(A + Nk) 5 det(A + B,) pour tout k > O,

(iv) Bk commute avec A pour tout le > O.

19) Montrer l'inégalité (1).

III. Une permutation qui réalise le maximum

Indépendamment des matrices A et B, étant données deux suites de réels
(ak, 1 _<_ [<: _<_ n) et (b,... 1 5 k 5 n), on se propose de préciser l'inégalité (1), en explicitant une permutation 0 EUR G,, pour laquelle le produit n P(Û) = H(Gk + ba(k)) k=l est maximum. On supposera que les hypothèses suivantes sont vérifiées: aiSazS..- 0 pour tout (71,3).

Pour tout entier n 2 1, on considère la propriété 7r(n) suivante: pour toutes
les suites (al,, 1 < k < n) et (b,,, 1 < k < n) vérifiant (H) et toute permutation 0 EUR 6... on a n H(ak + ba(k)) S H(% + b --k+1)- k=1 k=1 20) Établir 7r(n) pour tout n 2 2. Indication: pour n > 2 et 0" EUR EUR,, donnés, on distinguera deux cas:

Cas 1 : a vérifie a(n) : 1. On montrera qu'il existe alors T E 6n_1 telle
que pour i E {l,-... , n-- 1}, a(z') : T(Z) + 1.

Cas 2: Il existei < n et j > 1 tels que a(z') : 1 et a(n) : j et on
ramènera l'étude du second cas au premier en factorisant P(a)
par (a,-- + b1)(an + b,).

FIN DU PROBLÈME