Mines Maths 2 MP 2007

A 2007 MATH. II MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQ UES II _ MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Algèbres de Lie

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal a 1. On note Mn,p(C)
l'espace vectoriel des matrices a n lignes et p colonnes, a coefficients com--
plexes.

On identifiera une matrice colonne X (un élément de Mn,1(C)) et le
vecteur de (C" dont les composantes dans la base canonique de (C" sont les
coefficients de la matrice X. Pour M EUR Mn,n(C), on note M l'endomor--
phisme canoniquement associé de (C": M est l'endomorphisme de (C" dont

M est la matrice dans la base canonique de (C". Par ailleurs, EÀ(M ) est
l'espace propre associé a la valeur propre À de l'endomorphisme M.

Pour une matrice M EUR Mnn(C) de coefficients (mij,7l,j : 1,- -- ,n) et
pour k = O, - - - ,n -- l, on appelle k--ième diagonale supérieure de M , notée
DAM), l'ensemble des coefficients (mi,i+k,7l : l, - - - ,n -- le). Une diagonale

supérieure Dk(M ) est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.

Si V et W sont deux espaces supplémentaires de (C", on note pv la pro jec--
tion sur V parallèlement a W: pour a: : a:v --l-- a:W avec a:v E V et a:W E W,
pv(a:) : a:v. Pour un endomorphisme u de (C", on note uv sa restriction a
V.

De sorte que si 7ZV représente l'injection de V dans (C", uv(y) : u(iv(y))
pour tout y E V.

I Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux éléments X et Y de Mnn(C) la ma--
trice, notée [X,Y], définie par

[X,Y] = XY -- YX.

Définition 1 Soitbl un sous--espace vectoriel de Mnn(C). On note {Ul l'es--
pace vectoriel engendré par les crochets de Lie [X,Y] lorsque X et Y décrivent
bl. On dit que M est une algèbre de Lie lorsque

[M] C M .
Soit L! et V deux algèbres de Lie qui vérifient
[M] C V C M .

On souhaite prouver le théorème suivant.

Théorème 1 Si X EUR Mn,1(CC) est une colonne propre pour toute matrice M
dans V et si A est une matrice dans M alors AX est soit la matrice colonne 
nulle,

soit une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V. De plus, si pour
M E V, MX : ÀX alors M(AX) : MAX).

Soit X EUR Mn,1(C) une matrice colonne propre pour toute matrice M dans
V, et soit A une matrice de M .

D 1 -- Établir l'existence d'une forme linéaire À sur V, à valeurs dans (C, 
telle
que pour tout M E V, MX : À(M)X.

D 2 -- Montrer que pour tout M E V, [M , A] appartient à V.

On considère la suite de matrices colonnes (X ],, le 2 O) définie par
XO : X, Xk+1 : AX;,, pour tout le 2 0.

Pour M E V, on considère la suite de nombres complexes (À;,(M ), le 2 O)
définie par

>/
w
+
ÿ_\
||
>/
w
&
'Ü
O
C
H
d--
O
C
d--
äl
IV
.©

D 3 -- Démontrer, pour tout entier i 2 0 et pour tout M E V, les identités

suivantes:
MX@ = 2 Cl À...--(M) X,-- ...
j=0
[M, A]X,- = z og" À,_,+1(M) X,. (2)
j=0

D 4 -- On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de (C". Démon--
trer qu'il existe un plus grand entier q tel que la famille de vecteurs

{X0, X1, X2, ' ' ' ,Xq} SOlt libre.

On note G l'espace vectoriel engendré par la famille {X0,X1, X2, - - - ,Xq}.

D 5 -- Montrer que Mg, ÂG et [M, A[G sont des endomorphismes de G .

D 6 -- Calculer la trace de [M, Alo-

7 -- Quelle est la matrice de [M, A[G dans la base {X0,X1,X2, - - - ,Xq}?

D

D 8 -- Pour M E V, que vaut À([M,A[)?

Cl 9 -- Établir le théorème 1.

II Algèbres de Lie résolubles

Définition 2 Soit bl une algèbre de Lie et 19 un entier naturel non nul. On
dit que bl est une algèbre de Lie re'soluble de longueurp lorsqu'il eæiste des

algèbres de Lie M0, M1, - - - , Mp telles que :
{o}=t{pcup_1C---Mlcüo=ü (A)
[M,-[ C Li,-+1 pour tout i E {O, - -- ,p -- 1}. (B)

On se propose de montrer le théorème suivant.

Théorème 2 bl est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s'il existe
une matrice P inversib/e telle que, pour tout M EUR bl , P_1M P est triangulaire
supérieure.

Soit P une matrice inversible de Mnn(C) et TP l'ensemble des matrices
M EUR Mnn(C) telles que P_1M P soit triangulaire supérieure.

10 -- Traduire la propriété << il existe une matrice P inversible telle que pour tout M E U , P_1M P est triangulaire supérieure >> en une propriété
sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de U .

11 -- Montrer que TP est une algèbre de Lie résoluble de longueur n.

On pourra considérer les sous-espaces N}, (O S le S n) tels que No =
TP et pour tout entier le (1 S le S n), N}, est l'ensemble des ma--
trices M EUR TP telles que les le diagonales supérieures DO(P_1MP),
D1(P_1MP), ..., et Dk_1(P_1MP) sont nulles.

Dans les questions 12 a 17, on suppose que M est une algèbre de Lie résoluble
de longueur p = 1.

12 -- Montrer que pour tout M, M' EU, on a MM' : M'M.

13 -- Soit r un entier non nul et une famille M1, M2, - - - , M.,. d'éléments 
de U.
Montrer qu'il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes

Ü17Ü27'n 7Mr-

D 14 -- Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun a tous les
endomorphismes {M, M E U }

On note dorénavant :

27 = {M, M e M}.
Soit F et H deux espaces supplémentaires de (C" et u et u deux endomor--
phismes de (C". De plus, on suppose, d'une part, que F est stable par u et u
et, d'autre part, que u et u commutent.
D 15 -- Montrer les relations suivantes:

pHU =pHUpH et pH"U =pH'UpH-

D 16 -- Montrer que pHupH et pHupH commutent puis que pH uH et pH uH
commutent.

D 17 -- En procédant par récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le cas
p = 1.

Soit, maintenant, L! une algèbre de Lie résoluble de longueur 19 > 1.

On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur in--
férieure strictement a 19, il existe un élément P E Mn,n(C), inversible, tel
que pour toute matrice M dans cette algèbre, P_1M P soit triangulaire su--
périeure.

D 18 -- Montrer qu'il existe au moins un vecteur propre commun a tous les
endomorphismes M, M EUR 111.

Soit X l'un de ces vecteurs propres. On note E l'espace vectoriel engendré
par X et les éléments de la forme

AÎ. . .AÎ,X
où le est un entier non nul, A, E U pour tout j.

D 19 -- Montrer que E est un espace vectoriel stable par tous les éléments de
U et que tous les éléments de E sont des vecteurs propres communs a
tous les endomorphismes de U1.

Soit M, M' E M.

D 20 -- Montrer que [M , M '] E est une homothétie de trace nulle.

D

21 -- Que peut--on en déduire?

Le théorème 2, dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonne--
ments qu'aux questions 14 et 17.

FIN DU PROBLÈME