Mines Maths 2 MP 2011

A 2011 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2011
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Sur le calcul des variations
Soit un intervalle I  R, ni vide, ni réduit à un point, et un ensemble E de
fonctions f : I  R. On se donne une application J : E  R définie au moyen
d'une intégrale faisant intervenir f et ses dérivées. L'objectif de ce problème 
est
d'étudier le minimum éventuel de J sur E :
min J ( f ),
f E

et de déterminer, dans certains cas particuliers, les points f de E en lesquels 
J
atteint son minimum.
k
On note E a,b
l'ensemble des fonctions f : [0, 1]  R de classe C k telles que
f (0) = a et f (1) = b. La notation y (k) désigne la dérivée d'ordre k de la 
fonction y.

A. Préliminaire
1) On pose j = exp(2i /3). Que vaut j 4 + j 2 + 1 ?
On note Mn,p (C) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes sur C
et on considère la matrice A de M4,4 (C) suivante :

0 1 0 0

 0 0 1 0
A=
.
 0 0 0 1
-1 0 -1 0
2) Proposer une matrice inversible U et une matrice diagonale D de M4,4 (C)
telles que U -1 AU = D. La méthode choisie pour les obtenir doit être
expliquée.
3) En déduire les solutions X : I  M4,1 (C) de l'équation différentielle
X  = AX .

(1)

4) Déterminer l'ensemble des solutions y : I  C de l'équation différentielle
y (4) + y  + y = 0

(2)

et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dans R. On pourra
considérer le vecteur

y
 
 y 
Y =    .
y 
y (3)
2

B. Un lemme de du Bois-Reymond
5) On considère la fonction h : R  R définie par h(t ) = (1 - t 2 )3 si |t | É 1
et h(t ) = 0 sinon. Montrer que h  C 2 (R, R) et représenter son graphe. La
fonction h est-elle de classe C 3 sur R ?
6) Soit x 0 , x 1 des nombres réels tels que x 0 < x 1 . Construire à partir de h une fonction g  C 2 (R, R) vérifiant g (x) > 0 pour tout x ]x 0 , x 1 [ et g (x) = 0
ailleurs.
Z1
0
2
7) Soit F  C ([0, 1], R) telle que
. DéF (x)u(x) dx = 0 pour tout u  E 0,0
montrer qu'alors F est nulle.

0

C. Une condition nécessaire d'Euler-Lagrange
2
Dans cette partie, on prend E = E a,b
pour un couple donné (a, b) de nombres
réels. La fonction J est définie sur E par la formule

J(f ) =

Z1
0

£ ¡
¢
¡
¢¤
P f (x) +Q f  (x) dx,

où P,Q  R[X ] sont des polynômes fixés.
Soit f 0  E . On se propose de prouver que si J ( f 0 ) É J ( f ) pour tout f  
E ,
2
alors f 0 vérifie une certaine équation différentielle. Soit u  E 0,0
.
8) Montrer que l'application q définie sur R par la formule
q(t ) = J ( f 0 + t u)
est polynomiale, c'est-à-dire qu'il existe une famille finie (a 0 , a 1 , . . . 
, a r ) de
r
P
a k t k pour tout t  R. Expliciter le coefnombres réels telle que q(t ) =
k=0

ficient a 1 sous la forme d'une intégrale faisant intervenir les polynômes
dérivés P  et Q  .
9) On suppose que pour tout f  E , J ( f 0 ) É J ( f ). Montrer qu'alors a 1 = 
0 et
en déduire l'équation différentielle :
x  [0, 1],

¡
¢
d £  ¡  ¢¤
Q f 0 (x) .
P  f 0 (x) =
dx

()

Exemples
Premier exemple. On choisit E

2
= E 0,1

et J = J 1 définie par J 1 ( f ) =

3

Z1
0

( f  (x))2 dx.

10) Former l'équation différentielle () correspondante. Parmi ses solutions,
2
préciser celles qui appartiennent à E 0,1
.
2
11) Montrer que J 1 admet un minimum sur E 0,1
, préciser sa valeur ainsi que les
2
points de E 0,1 où ce minimum est réalisé. (On pourra s'aider de l'inégalité
de Cauchy-Schwarz.)
2
Deuxième exemple. On choisit E = E 0,0
et J = J 2 définie par

J2( f ) =

Z1
0

¡

¢3
¢2 ¡
f  (x) + f  (x) dx.

12) Former l'équation différentielle () correspondante. Parmi ses solutions,
2
montrer que seule la fonction nulle appartient à E 0,0
.
2
. (On pourra se servir de
13) Montrer que J 2 n'admet pas de minimum sur E 0,0
la fonction f définie sur l'intervalle [0, 1] par la formule f (x) = x 2 (1 - 
x).)

D. Un exemple avec dérivée seconde
Dans cette partie, E désigne l'ensemble des fonctions f  C 4 (R+ , R) telles que
f et ( f  )2 soient intégrables sur R+ . On rappelle que l'ensemble des 
fonctions
g  C 0 (R+ , R) telles que g 2 soit intégrable sur R+ est un R-espace 
vectoriel, que
l'on note L 2 .
Dans les deux questions suivantes, on considère f  E .
2

14) Montrer que le produit f f  est intégrable sur R+ et que f (x) f  (x) ne 
tend
pas vers + quand x  +.
15) En déduire que f   L 2 , puis que f (x) f  (x)  0 quand x  +.

Dans cette partie, la fonction J est définie par
J(f ) =

Z+
0

£
¤
( f (x))2 - ( f  (x))2 + ( f  (x))2 dx.

Par un raisonnement identique à celui de la partie C, on peut montrer, et on
l'admettra, que si la fonction J présente un minimum en un élément f de E ,
alors f est solution sur R+ de l'équation (2) : y (4) + y  + y = 0 .
16) Déterminer les solutions de (2) qui appartiennent à E . (On pourra d'abord
étudier leur appartenance à L 2 .)
On note e 1 et e 2 les fonctions définies sur R+ par les formules
e 1 (t ) = e

-t /2

³ p3 ´
³ p3 ´
-t /2
cos t
et e 2 (t ) = e
sin t
.
2
2
4

Un calcul montre, et on l'admettra, que pour tous réels  et ,
p
2 32  3
J (e 1 + e 2 ) =
+
+
.
4
4
2
On pose également, pour tout t  R+ ,
(t ) = e

-t /2

³ p3  ´
sin t
- .
2
3

17) On suppose, dans cette question, que la fonction J présente un minimum
en un élément f de E . Montrer que f est solution sur R+ de l'équation
y  + y  + y = 0. Montrer par ailleurs qu'il existe   R tel que f = .

18) Montrer que pour tout f  E et tout réel A > 0,
ZA h
¡
0

¢2 i
¢2 ¡
¢2 ¡
dx
f (x) - f  (x) + f  (x)
ZA
¢2
¡
¢2 ¡
£
¤2
=
f (x) + f  (x) + f  (x) dx + f (0) + f  (0) - f (A) + f  (A) .
0

¡
¢2
Quel est le comportement de f (A)+ f  (A) lorsque A  + ? En déduire
que la fonction J admet effectivement un minimum au point  pour
chaque   R.

19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet
de retrouver directement toutes les fonctions f 0  E telles que J ( f 0 ) =
min J ( f ), sans passer par l'équation différentielle (2).
f E

E. Application : une inégalité de Hardy et Littlewood
On reprend les notations de la partie précédente, et pour tout g  L 2 , on note
sZ
+ ¡
¢2
g (x) dx .
kg k =
0

20) Montrer que pour tout f  E ,

k f  k2 É 2 k f k · k f  k .
On pourra poser f µ (x) = f (µx) et utiliser le fait que J ( f µ ) Ê 0, pour 
tout
réel µ > 0.

21) Déterminer tous les cas d'égalité dans l'inégalité précédente.

F IN DU PROBLÈME
5