Mines Maths 2 MP 2012

A 2012 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2012
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Formule sommatoire de Poisson
L'objectif de ce problème est d'établir sous quelles conditions la formule
sommatoire de Poisson est vraie et d'en étudier certaines applications.
Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et
à valeurs dans C. On note L l'espace vectoriel des fonctions continues par
morceaux et intégrables sur R, et L  l'espace vectoriel des fonctions continues
f telles qu'il existe  > 1 pour lequel la fonction x 7 |x| f (x) est bornée sur 
R.

A. Préliminaires
La transformée de Fourier de f  L est la fonction f^ définie par la formule :
Z
^
f (x) e -2i x dx.
f () =
-

1) Justifier que pour tout f  L , f^ est bien définie et continue sur R.

On désigne par W l'ensemble des fonctions f  L telles que f^  L , et par W 
l'ensemble des fonctions f  L  telles que f^  L  .
2) Établir que W et W  sont des espaces vectoriels sur C, vérifiant l'inclusion
W W .
Étant donné f  L ,  > 0 et y,   R, on pose, pour tout x  R, f  (x) = f (x) et
f y, (x) = f (x + y)e -2i x .
3) Déterminer les transformées de Fourier de f  et f y, en fonction de f^. Que
peut-on en déduire sur les espaces W et W  ?
4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions s et t définies sur R par
les formules
(
1 pour |x| É 21 ;
s(x) =
0 ailleurs,
et
t (x) =

(

1 - |x| pour |x| < 1 ; 0 ailleurs, pour tout x  R. 5) Montrer que W  et W sont distincts de L . On pourra pour cela s'aider de la fonction s définie à la question précédente. 6) Si f n est une suite de fonctions de W convergeant en moyenne vers une fonction f  W , montrer que la suite f^n converge vers f^, uniformément sur R. 2 B. Formule sommatoire de Poisson P Soit f  L  . Sa périodisée f~ est définie par la formule f~(x) = nZ f (x + n). 7) Montrer que f~ est bien définie, 1-périodique et continue sur R. 8) Déterminer, en fonction de f^, les coefficients de Fourier de f~ définis pour tout n  Z par la formule Z1 ~ f~(x) e -2i nx dx. cn ( f ) = 0 On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier, alors elles sont égales. 9) Montrer que si f^  L  , alors f~ est égale à la somme de sa série de Fourier. En déduire, pour tout f  W  , la formule de Poisson : X X f (n) = f^(n). nZ nZ Les parties suivantes donnent diverses applications de la formule de Poisson. C. Application à la formule d'inversion de Fourier Soit f  W  . 10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction f x, définie dans la partie A, établir la généralisation suivante, pour tous réels x et  : X X f^(n + ) e 2i x(n+) . f (x + n) e -2i n = nZ nZ Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier fx , où F x est la fonction définie par F x () = de la fonction périodisée F 2i x ^ f ()e . 11) En déduire la formule d'inversion de Fourier : Z f^() e 2i x d. f (x) = - On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient fx . de Fourier particulier de F On dit que   C est valeur propre de la transformation de Fourier dans W  s'il existe f  W  non nulle telle que f^ =  f . 12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans W  . On pourra s'aider de combinaisons linéaires des fonctions t et t où t est définie à la question 4). Les parties suivantes sont indépendantes les unes des autres. 3 D. Application au théorème d'échantillonnage de Whittaker On considère, dans cette partie, une fonction f  W  telle que f^ s'annule en dehors de l'intervalle [- 21 , 21 ]. de façon unique par la donnée de la 13) Montrer qu'alors f est ¡ déterminée ¢ suite des échantillons f (n) nZ . (On pourra s'aider de la formule généralisée de Poisson établie à la question 10).) 14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que f^ s'annule en dehors d'un intervalle [- 21 - , 12 + ] où  > 0 ? (On pourra considérer la
fonction  7 t (

+ 12
- 12
)
-
t
(

 ),

où t est la fonction définie à la question 4).)

E. Contre-exemple de Katznelson
Dans cette partie, on considère la fonction t définie à la question 4) et l'on
pose, pour tous x  R, k  N et N entier > 0 :
u k (x) = t (2k x) - t (2k+1 x)
u k,N (x) =

|n| ´
1 X ³
1-
u k (x - n).
N nZ,
N
|n|