Mines Maths 2 MP 2013

A 2013 MATH. Il MP

ECOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2013

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie:

ZVIATHÊNIATIQUES II - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

Notations et définitions

Soit E un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie).
On note ( , ) le produit scalaire de E et || Il la norme euclidienne associée. 
Si H
est une partie de E , on appelle enveloppe convexe de H, notée conv(H), la plus
petite partie convexe de E contenant H, c'est-à-dire l'intersection de tous les
convexes de E contenant H.

Soit n un entier naturel > 2. On désigne par /%n(R) l'espace vectoriel des
matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note 1 la matrice identité 
de
J%n([Râ) et si A E J%n(R), on note 'A la matrice transposée de A et tr(A) la 
trace
de A. On rappelle que le groupe orthogonal On([R) de /Æn([Râ) est l'ensemble des
matrices U de J%n(R) telles que U "U = I . On rappelle également qu'une matrice
symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou 
nulles.

On pourra identifier [R%" et l'ensemble des matrices colonnes J%n,1 (R), que
l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique
de [R%" est orthonormée. On note || "2 la norme sur J%n([Râ) subordonnée à la
norme euclidienne de [R%" : pour tout A E /%n ([R),

llAllz= sup "AX"-
XeR",llel=l

Les parties A, B, C et D sont indépendantes.

A. Produit scalaire de matrices

On rappelle que tr(A) désigne la trace de la matrice A E J%n([Râ).

1) Montrer que pour toute base orthonormée (el, 82, . . . , en) de R", on a la
formule tr(A) : Zÿ=l(Ael--, ei}.

2) Montrer que l'application (A, B) --> tr(tA B) définit un produit scalaire sur
J%n([Râ), noté (, ).

On note || "1 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention 
du
candidat est attirée sur le fait que J%n([Râ) est désormais muni de deux normes
différentes || "1 et || "2.

3) Si A et B sont symétriques réelles positives, montrer que (A, B) > 0. On
pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de B.

B. Décomposition polaire

Soit f un endomorphisme de E . On note A la matrice de f dans une base
orthonormée de E, et on note f * l'adjoint de f.

4) Montrer que 'AA est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer
Il All2 en fonction des valeurs propres de 'AA.

5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif h de E tel que
f* 0 f = W.

6) Montrer que la restriction de h à Im h induit un automorphisme de Im h.
On notera cet automorphisme Îz.

7) Montrer que llh(x)ll : llf(x)ll pour tout x E B. En déduire que Kerh et
(Im f )i ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme v de Ker h
sur (Im f )i qui conserve la norme.

8) À l'aide de Îz et v, construire un automorphisme orthogonal u de E tel que
f = u 0 h.

9) En déduire que toute matrice A E J%n([Râ) s'écrit sous la forme A : US, où
U E On([R) et S est une matrice symétrique positive.

On admet que si A est inversible, cette écriture est unique.

C. Projeté sur un convexe compact

Soit H une partie de E , convexe et compacte, et soit x E E . On note

d(x,H) : inf llx-- hll.
heH

10) Montrer qu'il existe un unique ho E H tel que d(x, H) : llx-- ho II. On 
pourra
utiliser pour ho, m dans H la fonction définie pour tout t E [R par la formule
...) = llx-- the -- (1 -- t)h1||2.

11) Montrer que ho est caractérisé par la condition (x -- ho, h -- ho) < 0 pour tout h E H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu'à la question précédente. Le vecteur ho s'appelle projeté de x sur H. D. Théorème de Carathéodory et compacité Dans cette partie, on suppose que E est de dimension n. On dit que x E E est une combinaison convexe des 19 éléments x1, x2, . . . , xp E E s'il existe des réels /11, Àg, . . . , /1p positifs ou nuls tels que 19 19 x= 2/1ij et ZÂi=1- i=l ' 12) Montrer que l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E est consti- tuée des combinaisons convexes d'éléments de H. On souhaite montrer que l'enveloppe convexe conv(H ) est constituée des com- binaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H. Soit x : Z'Y_ À-x- une combinaison convexe de x1, x2, . . . , x E H avec 19 > n 
+ 2.
z-1 l 1 P

13) Montrer qu'il existe 19 réels non tous nuls ,Lt1,,Lt2, . . . , ,up tels que

P
Z,u,--x,--=O et Z,u,--=O.
i=1 '

On pourra considérer la famille (362 -- x1, x3 -- x1, . . . , xp -- xl).

14) En déduire que x s'écrit comme combinaison convexe d'au plus 19 -- 1
éléments de H et conclure que conv(H ) est constituée des combinaisons
convexes d'au plus n + 1 éléments de H.

On pourra considérer une suite de coefficients de la forme À,-- -- Hu,-- > 0,
i E {1,2, . . . , p} pour un réel 9 bien choisi.

15) Si H est une partie compacte de E, montrer que conv(H) est compacte.
On pourra introduire l'ensemble compact de là"" défini par

n+1
A= {(t1,...,tn+1), avec t,-- >Opourtoutie{1,...,n+l} et 2 t,-- = l}.
i=1

E. Enveloppe convexe de O,,(IR)

16) Montrer que l'enveloppe convexe conv(On(lR{)) est compacte.
On note 93 la boule unité fermée de (Æn(üä), Il "g).
17) Montrer que conv(On(lR{)) est contenue dans 93.

On suppose qu'il existe M EUR 93 telle que M n'appartient pas a conv(On(üä)). On
note N le projeté de M sur conv(On(lR{)) défini àla partie C pour la norme || 
|| 1,
et on pose A : t(M -- N). On écrit enfin A : US, avec U E O,,(llä) et S 
symétrique
réelle positive (question 9).

18) Montrer que pour tout V E conv(On(R)), tr(AV) < tr(AN) < tr(AM). En déduire que tr(S) < tr(U SM). 19) Montrer que tr(M U S) S tr(S). On pourra appliquer le résultat de la ques- tion 1). 20) Conclure : déterminer conv(On(R)). F. Points extrémaux l Un élément A E 93 est dit extrémal dans 93 si l'écriture A = 5 (B + C), avec B,C appartenant à 93, entraîne A : B = C. Dans cette partie, on cherche à déterminer l'ensemble des points extrémaux de 93. l 21) On suppose que U E On([R) s'écrit sous la forme U = 5 (V + W), avec V, W appartenant à 93. Montrer que pour tout X EUR HQ", les vecteurs VX et WX sont liés. En déduire que U est extrémal dans 93. Soit A appartenant à 93 mais n'appartenant pas à On([R). 22) Montrer que l'on peut écrire A sous la forme A : PDQ, où P et Q sont deux matrices orthogonales et où D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux dl, dg, . . . , dn sont positifs ou nuls. 23) Montrer que di S 1 pour tout i E {1,2,...,n}, et qu'il existe j EUR {1,2,...,n} tel que dj < 1. 24) En déduire qu'il existe deux matrices Aa et A_a appartenant à 93 telles 1 que A = 5 (Aa + A_a). Conclure. FIN DU PROBLÈME