Mines Maths 2 MP 2015

A 2015 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2015
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Norme d'une matrice aléatoire
L'objectif de ce problème est d'étudier une inégalité de concentration pour
la norme opérationnelle d'une matrice aléatoire dont les coefficients sont 
mutuellement indépendants et « uniformément sous-gaussiens ».
Soit n un entier strictement positif. On identifie Rn à l'espace M n,1 (R) des
vecteurs colonnes à n coordonnées réelles. Pour tout x = t (x 1 , . . . , x n ) 
dans Rn
on note :
s
n
X
(x i )2
kxk =
i =1

n

n-1

©
ª
La sphère unité de R est notée S
= x  Rn , kxk = 1 . On identifie une matrice carrée M  Mn (R) à l'endomorphisme 
de Rn canoniquement associé et on
note (M ) l'ensemble de ses valeurs propres réelles.
Les parties A, B et C sont mutuellement indépendantes.

A. Norme d'opérateur d'une matrice
Soit M  Mn (R).
1) Montrer que S n-1 est un compact de Rn et en déduire l'existence de :
©
ª
kM kop = max kM xk ; x  S n-1 .

2) Montrer que l'application qui à M  Mn (R) associe kM kop est une norme
sur Mn (R). Montrer en outre que pour tous x et y dans Rn , on a l'inégalité
kM x - M yk É kM kop kx - yk.
ª
©
3) Si M est symétrique, établir l'égalité kM kop = max || ;   (M ) . On
pourra commencer par le cas où M est diagonale.
On note J n la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
4) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de J n en précisant
la dimension des espaces propres. En déduire la valeur de kJ n kop .
Soit M = (M i , j )1Éi , j Én  Mn (R).
©
ª
5) Démontrer l'inégalité kM kop Ê max |M i , j | ; 1 É i , j É n .

6) Etablir que :

v
un n
uX X
(M i , j )2
kM kop É t
i =1 j =1

et donner une condition nécessaire et suffisante sur le rang de M pour
que cette inégalité soit une égalité.
2

On note n l'ensemble des matrices M = (M i , j )1Éi , j Én de Mn (R) telles que
|M i , j | É 1 pour tous i , j dans {1, . . . , n}.
7) Montrer que pour tout M  n , kM kop É n. Caractériser et dénombrer les
matrices M de n pour lesquelles kM kop = n.

B. Variables aléatoires sous-gaussiennes
Dans toute la suite du problème, toutes les variables aléatoires considérées 
sont
réelles et discrètes, définies sur un espace probabilisé (, A , P ) . Soit  > 
0. On
dit que la variable aléatoire X est -sous-gaussienne si :
³ 2 t 2 ´
¡
¢
t  R,
E exp(t X ) É exp
.
2
exp(t ) + exp(-t )
.
On rappelle la notation : ch(t ) =
2
³t2 ´
8) Montrer que pour tout t  R, on a ch(t ) É exp
. On pourra au préalable
2
établir le développement de la fonction ch en série entière sur R.
9) Soit t  R. Démontrer que si x  [-1, 1], on a l'inégalité de convexité :
exp(t x) É

1-x
1+x
exp(t ) +
exp(-t ).
2
2

10) Soit X une variable aléatoire réelle bornée par 1 et centrée. Montrer que
X est 1-sous-gaussienne. En déduire que, si X est une variable aléatoire
bornée par  > 0 et centrée, alors elle est -sous-gaussienne.
11) Soit X 1 , . . . , X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes 
et P
sous-gaussiennes, et µ1 , . . . , µn des nombres réels tels que ni=1 (µi )2 = 1.
n
X
Montrer que la variable aléatoire
µi X i est -sous-gaussienne.
i =1

12) Soit X une variable aléatoire -sous-gaussienne et  > 0. Montrer que
pour tout t > 0 :
´
³ 2 t 2
- t
P (X Ê ) É exp
2
En déduire que :
³ 2 ´
P (|X | Ê ) É 2 exp - 2 .
2
Dans la suite du problème, on admet qu'une variable aléatoire X à valeurs
P
dans N est d'espérance finie si et seulement si la série P (X Ê k) converge et
que, dans ce cas :
+
X
E(X ) =
P (X Ê k).
k=1

3

13) Si X est une variable aléatoire à valeurs dans R+ , montrer que X est
d'espérance finie si et seulement si la série de terme général P (X Ê k)
converge et que, dans ce cas :
+
X

k=1

P (X Ê k) É E(X ) É 1 +

+
X

k=1

P (X Ê k).

On pourra pour cela considérer la partie entière X .
+
X -s
Pour tout s ]1, +[, on note (s) =
k .
k=1

14) Soit X une variable aléatoire -sous-gaussienne et  > 0. Montrer que
pout tout entier k > 0 :
µ
¶
³ 2 X 2 ´
P exp
Ê k É 2k -
2
où on a posé  = -2 -2 . En déduire que si  < 1, la variable aléatoire ¡ ¢ ¡ 2 X 2 ¢ exp 2 est d'espérance finie majorée par 1 + 2  . 1 En particulier, en prenant  = p et en utilisant l'inégalité 1 + 2(2) É 5 (que 2 l'on ne demande pas de justifier), on obtient immédiatement, et on l'admet, que si X est une variable aléatoire -sous-gaussienne, on a l'inégalité d'Orlicz : µ ³ X 2 ´¶ E exp É5 . 42 C. Recouvrements de la sphère © ª Si a  Rn , on note B a,r = x  Rn ; kx - ak É r la boule fermée de centre a et de rayon r . Soit K une partie compacte non vide de Rn , et soit  > 0.
15) Montrer que l'on peut trouver un sous-ensemble fini A de K tel que :
[
B a, 
K
aA

2

On pourra raisonner par l'absurde en utilisant le théorème de 
BolzanoWeierstrass.
16) Soit  un sous-ensemble de K tel que pour tous x, y distincts dans ,
kx - yk > . Montrer que  est fini et que son cardinal est majoré par celui
d'un ensemble A du type considéré à la question précédente. Si de plus
 est de cardinal maximal, montrer que :
[
B a,
K
a

4

On admet l'existence d'une fonction µ, appelée volume, définie sur l'ensemble
des parties compactes de Rn et vérifiant les propriétés suivantes.
¡
¢
(i) Pour tout vecteur a de Rn et tout nombre réel r > 0, µ B a,r = r n .

(ii) Pour toute famille finie K 1 , . . . , K m de compacts de Rn deux à deux 
disjoints, on a :
´ X
³[
m
m
µ
µ(K i ).
Ki =
i =1

i =1

(iii) Pour tous compacts K , K  de Rn , K  K  implique µ(K ) É µ(K  ).

Soit  une partie finie de S n-1 telle que pour tous x,y distincts dans , kx -yk 
> .
17) Vérifier que les boules B a,  pour a   sont toutes contenues dans B 0,1+  .
2
2
¢n
¡
.
Montrer alors que le cardinal de  est majoré par 2+

18) Justifier l'existence d'une partie finie n de S n-1 , de cardinal majoré
par 5n , et telle que :
[
S n-1 
B a, 1
an

2

D. Norme d'une matrice aléatoire
1
.
42
Soit n un entier strictement positif. On définit une famille de variables 
aléatoires réelles M i(n)
, indexées par i , j  {1, 2, . . . , n}, mutuellement indépendantes
,j
¢
¡
.
et -sous-gaussiennes. On note M (n) la matrice aléatoire M i(n)
, j 1Éi , j Én
On fixe un nombre réel  > 0 et on pose  =

Si x  S n-1 , on note y = M (n) x qui est ainsi un vecteur aléatoire dont les
composantes y 1 , . . . , y n sont des variables aléatoires réelles.

aléatoire y i est -sous19) Montrer que pour tout i  {1, . .¡. , n}, la variable
¢
gaussienne. En déduire que E exp(kyk2 ) É 5n et que pour tout réel
r >0:
¡
p ¢ ¡
2 ¢n
P kyk Ê r n É 5 e -r .
20) Soit n une partie de S n-1 vérifiant les conditions de la question 18).
p
Pour tout réel r > 0, montrer que kM (n) kop Ê 2r n implique l'existence
p
d'un a  n tel que kM (n) ak Ê r n. En déduire que :
¡
p ¢ ¡
2 ¢n
P kM (n) kop Ê 2r n É 25 e -r .

F IN DU PROBLÈME

5