Mines Maths 2 MP 2018

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Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP.

CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racines carrées de matrices complexes : existence et calcul numérique

Dans ce problème, on étudie l'existence de racines carrées d'une matrice
complexe, puis on introduit l'algorithme de Newton pour calculer numérique--
ment l'une de ces racines carrées, avec des considérations sur la convergence et
la stabilité de l'algorithme.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On note J%n(C) l'ensemble des ma--
trices carrées d'ordre n à coefficients complexes. La matrice identité de Æn(C)
est notée I n. On appelle racine carrée de A EUR Æn(C) toute matrice X EUR Æn(C)
solution de l'équation X2 = A.

On note <ÎÎ l'ensemble des nombres complexes non nuls qui ne sont pas des nombres réels négatifs. A. Quelques exemples 1) Montrer que la matrice A = 12 admet une infinité de racines carrées (on pourra utiliser la notion de symétrie). Lesquelles sont des polynômes en A? 0 0 1 2) Montrer que A = 0 0 0 admet une infinité de racines carrées et 0 0 0 qu'aucune d'entre elles n'est un polynôme en A. Dans la question suivante, A EUR Æ,,(IR) est une matrice symétrique réelle qui est définie positive, c'est--à--dire que ses valeurs propres sont strictement positives. 3) Montrer que A admet une unique racine carrée symétrique réelle définie positive. (On pourra montrer que deux racines carrées de ce type possèdent les mêmes valeurs et sous--espaces propres.) B. Existence et calcul d'une racine carrée Dans cette partie A EUR Æn(C) désigne une matrice inversine quelconque. 4) Soit T : (ti,j)1gi,jsn et U: (ui,j)1si,jsn EUR Æn(C) deux matrices com-- plexes triangulaires supérieures. On suppose que T est inversible. Mon-- 5) trer que l'équation U2= T est équivalente au système d'équations sui-- vant . uîi=ti,i (1SiSn) (uni + uj,j)ui,j = t,--,,-- -- Z "::/«MJ (1 S i < 1 $ ")- k=i+l Montrer que T étant donnée, on peut résoudre ce système en choisissant une solution U telle que u...-- + u... 75 0 pour tous i,j EUR {1,2,...,n}. (On pourra considérer les parties réelles et imaginaires des u,--y,--.) En déduire que A admet une racine carrée. Si en outre, les valeurs propres de A appartiennent à EUR, montrer que A admet une racine carrée dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement positive. On admet qu'une telle racine carrée est unique et on la notera \/Â dans toute la suite du problème. C. Algorithme de Newton Pour tout A : (ai,J--)1si,an EUR Jtn(C) on pose II=AII \/ ËÊI lai,jl2 et on admet que Il - Il définit une norme sur Æn(C). On note B(X , r) et B (X , r) les boules, respectivement ouverte et fermée, de centre X EUR Æn (C) et de rayon r. Soit A et B deux matrices quelconques de Æ,,(C). 6) Montrer que ||ABII EUR "A" ||Bll. On note rn A le polynôme minimal de A. 7) 8) Montrer que la matrice rn A(B) est inversible si et seulement si A et B n'ont aucune valeur propre commune. En déduire que s'il existe une matrice M EUR Æn(C) non nulle telle que AM : MB, alors A et B ont au moins une valeur propre commune. Réciproquement, si A et B ont au moins une valeur propre commune, montrer qu'il existe une matrice M EUR Æn( Æn(C) l'application définie par la formule F (X) = X2 -- A.
9) Montrer que la différentielle dFX de F en X EUR Æn(C) est donnée par

VHEUR fln(C), dFX(H) : XH+ HX.

Déduire des deux questions précédentes une condition nécessaire et
suffisante pour que dFX soit inversible. Montrer que cette condition
implique que X est inversible.

Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice inversible de ./%n (C) 
dont
les valeurs propres appartiennent à C. On pose X * : \/Â (la matrice \/Â a été
définie àla question 5).

On définit, sous réserve d'existence, une suite (Xk)keN d'éléments de Æn(C)
par:

XO EUR fln(C)
(N) _1
Vic e N, Xk+1= Xk -- (dek) (Pom).

Dans les questions suivantes, on étudie l'existence et la convergence de la 
suite
(Xk) kEURN-

10) Montrer que dFX* est inversible et qu'il existe r > 0 tel que dFX soit
inversible pour tout X EUR B(X*, r).

Pour tout Y EURË(X*, r) on pose G(Y) : Y -- (dFy)_l(F(Y)).
Il) Calculer G(X*) et montrer que pour tout H EUR B(0, r),

G(X* + H) -- G(X*) = (de*+Hr1(H2)

(cuth+H)_1 = (Id+(dFX*)_1odFH)_1o(dFX*)_1.

12) En déduire qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout X de
B(X*, r), || G(X) -- X* Il EUR CIIX -- X* "2. (On pourra utiliser le résultat 
de la
question 6.)

13) Montrer qu'il existe p > 0 tel que pour tout XO EUR B(X*,p) la suite (Xk) 
keN
soit bien définie et vérifie, pour tout k EUR l\],

(p\/Ü)2k

X --X* EUR
Il k Il C

Que peut--on en conclure?

D. Forme équivalente

Dans cette partie, on étudie deux algorithmes équivalents à celui de Newton.
On rappelle que A désigne une matrice inversible de vfl,,(C) dont les valeurs
propres appartiennent à @. Soit U0 et VO deux matrices de Æn(0

et (VIC) ;OEN la suite de matrices de Jtn(C) définie par

(... Vo EUR JMC)
V,,+1 : %(Vk + Vk--1A) pour tout lc ; 0.

14) Si la suite (Xk) keN est bien définie par (N) et U0 : XO, montrer que la 
suite
(Uk) 1OEN est bien définie par (I) et égale à (Xk) 1OEN. Réciproquement si
la suite (U k)keN est bien définie par (I) et XO : U0, montrer que la suite
(Xk) keN est bien définie par (N) et égale à (Uk) 1OEN.

On suppose dorénavant ces conditions vérifiées.

15) On suppose que U0 : VO commute avec A. Montrer que la suite (Vk)keN
est bien définie par (II) et que pour tout k EUR l\], U k : Vk commute avec A.
(On pourra d'abord montrer que Uk est inversible pour tout k EUR N et
considérer la matrice Gk : % (UIÇ1A-- Uk).)

On rappelle qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si ses valeurs
propres sont strictement positives, et qu'une telle matrice admet une unique
racine carrée définie positive (question 3).

Dans la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle définie 
positive.

On considère la suite (Vk)keN définie par la relation (II) avec V0 : [JIn et
[J > 0. On fixe une matrice orthogonale P de sorte que A : PDPT où D est
une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres
À1,...,Àn de A, ordonnées par ordre croissant. On note e1,...,en les vecteurs
propres correspondants.

Soit k EUR N et EUR EUR {I, . . ., n} quelconques.

16) Montrer que Vk est symétrique réelle définie positive de mêmes vecteurs
propres el, . . . , en que A dont on notera Àk,1,. . ., À]... les valeurs 
propres
correspondantes. Trouver une relation entre Âk+1,e et MM .

17) Montrer que
2k+1

n...... Æ : (u-- Æ)
Àk----1,Æ + \/À_z u+ \/Â_Æ

18) Déterminer la limite de la suite (Vk) 1OEN.

E. Stabilité

On considère la suite (Vk)keN définie par la relation (II) avec V0 : \/Â. Soit
5 > 0 et i, j deux indices distincts de {l, . . ., n}. On note C1, . . . , C" 
les colonnes de
la matrice orthogonale P définie dans la partie précédente et on pose A : 8C5CÎ.

Soit VB : V0 + A. La matrice VÏ est calculée par la relation (Il) à partir de V8
et on pose A1 : V1 -- V1. Ensuite V2 est calculé à partir de V1 par la relation 
(11),
puis V3, V4 . .. de la même manière.

19) Montrer les relations suivantes :

{(VO +A)--1 : V0--1 -- V0--1AVO--1
_ 1 -- --
A1 _ î(A--VO 1AV01A).

20) Déterminer la valeur de 17 EUR IR telle que pour tout k EUR N,
V; : \/Â + n'" A.

21) On appelle conditionnement de A le rapport entre sa plus grande valeur
propre et sa plus petite. Que doit vérifier le conditionnement de A pour

que la suite (V2) [90 converge?

FIN DU PROBLÈME