Mines Maths 2 MP 2019

A2019 --- MATH II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert

Soit n un entier > 1. L'espace vectoriel R° est muni de sa structure eucli-
dienne canonique. La norme euclidienne associée est notée || |. On note .ÆZ,(R)
l'ensemble des matrices carrées d'ordre ñn à coefficients réels, et on identi-
fiera R" à l'ensemble .#4 1 (R) des matrices colonnes à coefficients réels. On
note X = (Xo X1--:Xn-1) EUR Ai n(R) la matrice ligne transposée de la matrice

colonne
X0

X]
X = | EUR Mn, (R).

Xn-1

Enfin, on note X la fonction polynomiale définie sur R par la formule
... n--1
X (1) = D xgt".
k=0

L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice de

Hilbert H, = (RD oe ken 1 E Mn n(R) définie par

1 1
1 1 _17
H.=l?2 3 n+1
n =
1 17 |
ñ n+l  '" 2n-1l
On a donc h°7 = 1 pour tous j,kEe {0,1,...,n--1}.

jk j+k+1

A. Une propriété de Perron-Frobenius

1) Montrer que la matrice H, est symétrique réelle et définie positive. On

1
pourra s'aider du calcul de l'intégrale I (X ()d [.
0

On note 7 le sous-espace propre de H, associé à la plus grande valeur propre
On de Hy.

2) Montrer que X EUR 7 si et seulement si X H, X =0h be
Xo |Xo|

X] |X1 |
Soit Xo = | . |un vecteur non nul de 7. On note |Xo]| =

Xn-1 |Xn-1 |
3) Établir l'inégalité /Xo Hy Xo < '| Xol Hn|Xol et en déduire que |Xo| EUR Y. 4) Montrer que H,|X,|, puis que X,, n'a aucune coordonnée nulle. 5) En déduire la dimension du sous-espace propre 7. B. Inégalité de Hilbert X0 X] Soit X=| . |un vecteur de R" et P un polynôme à coefficients réels. Xn--1 TT e e 6) En s'aidant du calcul de l'intégrale I P(eY°)e° dO, montrer l'inégalité 0 1 | P(t)dt 1] 7) En déduire que XH,,X 1 est croissante et convergente.

TT . TT un .
< I |P(e°)| de, puis l'inégalité XH,X < I IX (e/°)[° de. 0 0 C. Un opérateur intégral Dans la suite du problème, pour tout entier ñn > 0 et tout réel x, on pose
n--1
Kn(9 = Y x°.
k=0

Soit E l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et 
intégrables
sur [0,1[et 7,:E -- E l'application définie par

I
Th(f) 0 = ll K\ (tx) FD dt.

9) Montrer que 7, est un endomorphisme de E, dont 0 est valeur propre.
(On rappelle que 1 e C est valeur propre de T, s'il existe f EUR E non nulle
telle que T,(f) = 1j.)

10) Pour tout X e R", calculer T, (X). En déduire que 7, et H, ont les mêmes
valeurs propres non nulles.
On note l'ensemble des fonctions @ EUR E à valeurs strictement positives
sur ]0,1[ telles que 5 admette un prolongement continu sur [0,1].On rappelle
que p, est la plus grande valeur propre de H;.

11) En utilisant un vecteur propre associé à p,, montrer que

On < inf Sup --[ Kh(tx)o(t) dt PES xe0,1[ PX) En utilisant la partie À, montrer que l'on a égalité dans l'inégalité précé- dente. D. Une majoration explicite des rayons spectraux SoitpeZ et neN. Dans la suite du problème, on pose, pour tout x EUR ]0,1[: 1 l Ge | Kh(tx)q(®) dt, E(X) Jo L 1 t(E) Jn(X) = [ 1 tx dé, X" Jn(X) (x) Pa(x) = La fonction Gamma d'Euler est définie sur R° par la formule +OO T'(x) = I P'e 'dt. 0 On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes : F(x+1) = xT(x) pour tout x > 0.
l(n)=(n-1)! pour tout entier ñn > 0.
F(a)r 1
Par (B) = I 10 nf lar pour tous réels & > 0, > 0.
F(a + D) 0

12) Montrer que /, est dérivable sur ]0,1[ et que l'on a l'égalité

1
! pt)
dt-J}
xXJ} (0 = | S oz din.

On suppose dorénavant que EUR £ est de classe C! sur [0, 1[ et que (1-- Hoe(r) 
--
0 lorsque t -- 1.
13) Montrer que

1 yn ln

n]n(x) = C+n]n-1(x) +(x-- D | EC ar+ | + w dt
où c est un coefficient à déterminer et où y' désigne la dérivée de @. (On
pourra traiter à part le cas n = 0, où l'on considère que ñn/;-1(x) =0etoù
l'on montrera que c = 0.)

14) Déduire des deux questions précédentes que

1

1 nn /
pt ds | PULHpWa,

x(1-x)J, (0 = c+(n+1)(x-1)J/,(x%)+n |
0 l--1x

0

15) Soit y EUR R. Résoudre l'équation différentielle (1 -- f)y' = ---y}y sur 
l'inter-
valle [0,1[. À quelles conditions une solution y(t) de cette équation
différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur o?

On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction est la solu-
tion de cette équation différentielle telle que @(0) = 1.

16) Montrer que la fonction ®, est dérivable sur 10, 1[ et que l'on a:
®, (x) xl
+ On >
x (1 x)1+7

où l'on donnera l'expression de la constante c,; en fonction de ñn et de 7.

D, (0) = -(y +1)

17) En déduire que pour tout xe ]0,1f,

c' x tn+Y
Ph(x) = -- ------ dé
n x1+T o (1-- 147

18) En déduire que pour n2 1,

1 X 1-0,"
Pn < inf SUP = | ------------ dé aEUR]0,1[ xe]0,1[ X o (1-6) n! (1---a)(2-a)...(n-a) Un calcul montre, et on l'admet, que l'inégalité précédente implique l'inégalité : où l'on a posé 0h = < inf 909" I TT Pn ael0l " 0 ta(1--5)1-a 1 (n!}2 l/2n 19) En déduire que p, < 2wn arc sin(--), où l'on a posé why = 2 | | On (2n)! 1 20) Donner un équivalent de w, -- 1, puis un équivalent de x - 2w, arcsin D: lorsque ñn -- +oo. FIN DU PROBLÈME