X Maths 1 MP 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2000

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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On attachem la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la 
concision de la
rédaction.

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On se propose d'étudier certaines équations différentielles, d'abord dans le 
cadre des séries
entières, ensuite dans celui des fonctions indéfiniment dérivables.

Notations des parties I, II et III.

On désigne par E l'espace vectoriel sur C formé des suites de nombres complexes 
u =

(Uk)k=1,2,..., et par en la suite u où uk = 1 si k = n et 0 si k # n. Pour tout 
il de E on note
00

r(u) le rayon de convergence, éventuellement nul ou infini, de la série entière 
z uk mk; pour

k=1
tout nombre réel R > 0 on note ER l'ensemble des u de E tels que r u 2 R; enfin 
on note E
+

l'ensemble des U E E tels que r(u) > 0.

Première partie

1. Démontrer les assertions suivantes :

a) Un élément u de E appartient à E+ si et seulement s'il existe un nombre réel 
M > 0

1
tel que l'on ait [uk] £ Mk pour tout k; dans ce cas on a r(u) Z Ü'
. , k 1
b) Si, pour un reel M > 0, on a |uk| 2 M pour tout k, on a r(u) £ Ü

2. Déterminer un nombre réel 7 > 0 tel que l'on ait, pour tout k 2 2 :

k--l 1
12(k -- z)2 k2

i=1

Deuxième partie

On fixe un nombre complexe a et on désigne par Aa l'endomorphisme de E défini 
par
(Aau);Ç = (k + a)uk pour tout k.

3. Déterminer le noyau et l'image de Aa.

4. Vérifier que, si @ n'est pas un entier strictement négatif, pour tout R > 0, 
la restriction
de Aa à ER est un isomorphisme de ce sous--espace sur lui--même.

Troisième partie

On définit le produit u * v de deux éléments u et v de E par (u * v)1 = 0 et

Ic--1

(u*v)k = ZUiUk--i pour k 2 2.
i=1

On fixe deux nombres complexes a et c, a n'étant pas un entier strictement 
négatif; on note
T l'application de E dans lui--même définie par Tu : Aau + ou * u.

5.a) Supposant que Tu = 'U où u et 1) sont des éléments de E, écrire m en 
fonction de m,
puis uk en fonction de uk, ..., . .. ,uk_1 pour k 2 2.

b) Déterminer le noyau et l'image de T. L'application T est--elle injective ? 
surjective ?

6. On se propose de démontrer que la restriction de T à E+ est une bijection de 
ce sous--espace
sur lui--même.

a) Vérifier que T(E+) est inclus dans E+.

b) Soit U E E tel que 1} = Tu EUR E+. Démontrer l'existence de nombres réels 6, 
M , Mg, ]tI1
strictement positifs satisfaisant les conditions suivantes :

(l) VkEN*,|k--Æ-aIZÔ
(2) 2|c|*y M0 S 5, où w est la constante introduite à la question 2.

(3) Vk E N*, |... S Mk

(4) M S 5M0M1
(5) Vk EUR N*, 2k:2Mlc g 5M0Mf .

MOMÏ

c) Comparer |uk| et k2

d) Conclure.

7. Exemple. On prend a = 0, c = --1, v = Àe1 où A E R* , et on suppose encore 
Tu = v.

&) Montrer que uk est de la forme uk = ak/\k avec ak EUR Ri et

214" S ak S 1 pour tout k .

b) En déduire un encadrement de T(u)

Quatrième partie

Pour tout intervalle ouvert I de B on note 000 (I ) l'espace des fonctions 
complexes indéfini--
ment dérivables sur I. On désigne par a un nombre réel non nul et par D 
l'endomorphisme de
C°°(I) défini par

(Df)(t) = t f'(t) + @ N)-

8. Déterminer les solutions maximales de l'équation différentielle D f = 0 sur 
les intervalles
]0, +00[ et ] -- 00, 0[, et préciser leurs intervalles de définition.

9. Dire pour quelles valeurs de a il existe une fonction f E C°° (R), vérifiant 
D f = O, nulle
en 0 mais non identiquement nulle.

Dans la suite, on prend pour I un intervalle de la forme ]0,9[ avec 0 EUR]0, 
+00]. On désigne
par 150 un point de I , par g une fonction de C°°(I), et enfin par a un nombre 
complexe.

10. Déterminer la solution maximale de l'équation différentielle D f = g sur I 
telle que
f (to) = a [on pourra introduire la fonction

t

t»--> sa_1 g(s)ds]
to

11. On suppose dans cette question que @ n'est pas un entier strictement 
négatif et que g est
00

la restriction à I de la somme d'une série entière î: 'Uk tk ayant un rayon de 
convergence Z @.
k=1

Déterminer & de façon que f soit aussi la restriction à I de la somme d'une 
série entière
ayant un rayon de convergence 2 EUR.

12. On se propose d'étudier le comportement de f (t) lorsque t tend vers 0, 
sous l'hypothèse
que g(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0.

&) Supposant a < 0, déterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers 0. b) On suppose maintenant que a > 0 et que la fonction g, prolongée par 0 au 
point 0,

admet une dérivée à droite en ce point. Trouver un nombre a tel que f (t) tende 
vers 0 lorsque
t tend vers 0.