ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Régularisation de fonctions
Ce problème présente un procédé d'approximation de fonctions par des fonctions
plus régu--
lières.
Pour tout entier 16 > 0 on désigne par CËer l'espace des fonctions d'une
variable réelle a
valeurs complexes, 27r--périodiques et de classe Ok ; on note de même C'Ëer
l'espace des fonctions
27r--périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonction f de Cpm on
définit ses coefficients
pOE
de Fourier par
rn
f(n)=à/_îf(oe)e_moedoe , nEZ.
Étant donné une suite (an)nez, on dit que la série 2 an est convergente si les
séries 2 an
nEURZ n>0
et z a_n le sont, et on pose alors
n>1
Zan=2an+Za_n.
nEURZ n20 n21
Première partie
1. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 la série z e_|nltemoe est
convergente.
nEURZ
On suppose maintenant 15 > 0 et on note P(t, a:) ou Pt(aî) le nombre 2
e_|nltemoe.
nEURZ
2.Vérifier que P(t,a:) est réel. Calculer / P(t,oe)doe.
3.a) Montrer que la fonction P, définie sur l'ensemble Rï >< R, est indéfiniment différentiable, Ôp+q et écr1re ses dérivées part1elles WP(É, a:) sous forme de sommes de sér1es. a: 3219 3219 3.13) CâlClllEURf % + @ . 4. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction Pt. 5. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 on a 1 -- Ze_' cosa: + e_2t : 0. On suppose maintenant 15 > O.
6. Démontrer l'égalité
1 -- e_2t
1 -- 2e_t cos a: + (3--21
P(t, a:) =
et préciser le signe de cette expression.
7. Démontrer les assertions suivantes. On suppose a: E [--7r, W] et on fait
tendre 15 vers 0 par
valeurs supérieures; alors Pt(aî) tend vers 0 si a: # 0, vers +oo si a: = O, et
la convergence est
uniforme sur tout ensemble de la forme [--7r, --a] U [et, W] où & EUR]0, 7r[.
Deuxième partie
Dans cette seconde partie on se donne une fonction f de CËëÊ; on suppose
toujours 15 > O.
8. Vérifier que la série 2 f (n) e_|n|' emoe est convergente.
716%
Sa somme sera notée f(t, a:) ou f,t(oe).
9. Montrer que la fonction f, définie sur l'ensemble Rï >< R, est indéfiniment difiérentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries. 1 7T 10. Calculer f,t(oe) -- Ë /_ Pt(a: -- y) f(y) dy.
(19)
11. On suppose f E CS 16 > 0. Montrer que) lorsque t --> O, ft converge
uniformément
vers f(p) pour tout }) < k. EURI'7 Troisième partie 12. Étant donné un nombre réel & > 1, montrer qu'il existe un réel ,ua tel que
l'on ait
(1 + u)" < ,ua(1 + u") pour tout u > 0.
Pour tout a > 0 on note Ea l'ensemble des fonctions f de C'Ëäf satisfaisant
Z \f(n)\2 (1 +n2)0' < +oo . nEURZ On pourra admettre que cet ensemble est un sous--espace vectoriel de Câä'. 13.21) Montrer que, pour tout entier 16 > 0, on a C'": C E.,.
per
13.b) A--t--on 056, = E,, ?
13.c) Montrer que E., C CÊer si [EUR > 0 et a > k + 1/2.
[On pourra traiter d'abord le cas où 16 = 0].
Dans la suite du problème, on se donne un nombre réel 7" > O, pour tout (t, a:)
E Rï >< R, on pose gat(aî) : a:" e_'oe. +00 14. Exprimer le nombre C : t"+1 / g0t(oe)doe a l'aide de la fonction F et vérifier qu'il est 0 indépendant de t. 15. Montrer que 2 n'° e_m tend vers +oo lorsque t --> O.
n>1
16. Étant donné un réel 7' > O, déterminer un réel C' tel que l'on ait
2 n'° e_m < C't_'°_1 pour tout t EUR]O, T] . n>1
On se donne maintenant une fonction f E E.,, pour un certain & E]%,1] ; on
désigne encore par
7' un réel > O.
17 .a) Déterminer un réel C" tel que l'on ait
8
--
< C"ta_3/2 pour (15,33) E]O,T] >< R. 17.b) Déterminer un réel C'" tel que l'on ait Hf,t -- fHoo < C"'ta_1/2 pour tout t EUR]0, T], où l'on a posé, pour toute fonction g bornée sur R, ll9lloe = sup \g(æ)\ - oeEURR
