X Maths 1 MP 2008

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2008

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Équations différentielles de Sturm-Liouville
Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec 
paramètre. On désigne
par C  ([0, 1]) l'espace des fonctions réelles de classe C  sur [0, 1].
Première partie
Dans cette première partie, étant donné deux fonctions p et q de C  ([0, 1]), 
on désigne par
Ap,q l'endomorphisme de C  ([0, 1]) défini par
Ap,q (y) = y  + py  + qy
et par (Dp,q ) l'équation différentielle sur [0, 1] : Ap,q (y) = 0.
1. Soit y une solution non identiquement nulle de (Dp,q ).
1.a) Montrer que les fonctions y et y  ne s'annulent pas simultanément.
1.b) Montrer que les zéros de y sont en nombre fini.
2. Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q ) ; on 
suppose que y1
admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.
2.a) Montrer que y2 admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert ]a, b[. [On 
pourra
procéder par l'absurde et considérer le wronskien W de y1 et y2 .]
2.b) La fonction y2 peut-elle avoir plusieurs zéros dans ]a, b[ ?
Étant donné deux fonctions u et v de C  ([0, 1]), u ne s'annulant en aucun 
point, on désigne
par Bu,v l'endomorphisme de C  ([0, 1]) défini par
Bu,v (y) = (uy  ) + vy
et par (Eu,v ) l'équation différentielle sur [0, 1] : Bu,v (y) = 0.
1

3.a) Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q ) et soit 
W leur
wronskien. Vérifier la relation
y1 Bu,v (y2 ) - y2 Bu,v (y1 ) = (u - up)W .
3.b) Montrer que, pour tout couple (p, q), il existe des couples (u, v) tels que
Ker Ap,q = Ker Bu,v et déterminer tous ces couples (u, v).
4. On se donne trois fonctions u, v1 , v2 de C  ([0, 1]) et on suppose
u(x) > 0 ,

v2 (x) < v1 (x) pour tout x  [0, 1] . Pour i = 1, 2, on note yi une solution non identiquement nulle de l'équation (Eu,vi ) ; on suppose que y2 admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs. 4.a) Vérifier la relation [uy1 y2 ]ba [On pourra considérer Z b a = Z b a v1 (x) - v2 (x) y1 (x)y2 (x) dx . y1 Bu,v2 (y2 ) - y2 Bu,v1 (y1 ) dx.] 4.b) Montrer que y1 admet au moins un zéro dans l'intervalle ]a, b[. [On pourra procéder par l'absurde.] Dans toute la suite du problème on note r une fonction de C  ([0, 1]) ; pour tout nombre réel on considère l'équation différentielle sur [0, 1] : (D ) y  + ( - r)y = 0 . On note y l'unique solution de (D ) satisfaisant y (0) = 0, y (0) = 1, et E l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de (D ) satisfaisant y(0) = y(1) = 0 ; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que  est valeur propre. Deuxième partie 5.a) Quelles sont les valeurs possibles de dim E ? 5.b) Démontrer l'équivalence des conditions E 6= {0} et y (1) = 0. 6. Démontrer les assertions suivantes : 6.a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à inf x[0,1] r(x). 6.b) Si y1  E1 , y2  E2 avec 1 6= 2 , alors 2 Z 1 0 y1 (x)y2 (x) dx = 0. Troisième partie Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par N () le nombre des zéros de la fonction y dans [0, 1] et on se propose d'étudier N () en lien avec les valeurs de y (1), ainsi que la répartition des valeurs propres. 7. Dans cette question on examine le cas où r = 0 et  > 0. On désigne par E(a) 
la partie
entière d'un nombre réel a.
7.a) Calculer y (x) pour x  [0, 1].
7.b) Calculer N ().
7.c) Préciser le comportement de N () au voisinage d'un point 0 .
On ne suppose plus r = 0 ni  > 0. On admettra que la fonction de deux variables
(, x) 7 y (x) est de classe C  .
8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si y0 (1) est non nul, 
N () est
constant dans un voisinage de 0 .
On désigne par c1 , . . . , cn , n > 1, les zéros de y0 dans [0, 1] avec
0 = c1 < c2 < . . . < cn < 1 . 8.a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante (j )06j62n de nombres réels, possédant les propriétés suivantes : (i) 0 = 0, 2n = 1, 0 < 1 < 2 , 2j-2 < cj < 2j-1 pour j = 2, . . . , n ; (ii) (-1)j+1 y0 > 0 sur [2j-1 , 2j ], j = 1, . . . , n ;
(iii) (-1)j y 0 > 0 sur [2j , 2j+1 ], j = 0, . . . , n - 1.
8.b) Dans cette question, on considère une fonction F de classe C  définie sur 
un ouvert
contenant un rectangle compact I × J de R2 . Démontrer l'assertion suivante : 
pour tout  > 0
il existe  > 0 tel que les conditions s1 , s2  I et |s1 - s2 | <  impliquent |F (s1 , t) - F (s2 , t)| <  pour tout t  J . 8.c) Montrer que, pour tout  suffisamment voisin de 0 , y a exactement un zéro dans chacun des intervalles [2j , 2j+1 ], mais n'en a aucun dans les intervalles [2j-1 , 2j ]. Conclure. 9. Montrer que, pour tout  >  = supx[0,1] r(x), on a

N () > E ( - )1/2  -1 .
[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant  par un réel 
quelconque
µ <  - .] 3 10.a) Montrer que, si y (1) est non nul pour tout  appartenant à un intervalle I, N () est constant dans I. 10.b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ? Quatrième partie Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de N () au voisinage d'un point 0 tel que y0 (1) = 0. On écrira y(, x) au lieu de y (x), et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe C  ; l'équation (D ) s'écrit donc : (i) 2y + ( - r)y = 0 . x2 11. Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes : (ii) y 3y + ( - r) +y =0 2 x (iii) 3y 2 y y - y - y2 = 0 x2  x2 (iv) y y (0 , 1) (0 , 1) = x Z 1 y(0 , x)2 dx > 0 .

0

12. Montrer qu'il existe un réel  > 0 ayant les propriétés suivantes :
(i) si   [0 - , 0 [, on a N () = N (0 ) - 1 ;
(ii) si   [0 , 0 + ], on a N () = N (0 ).
13. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante 
infinie
1 < 2 < . . . , et exprimer N (n ) en fonction de n. 4