X Maths 1 MP 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et séries

Première partie
On désigne par C  (R) l'espace vectoriel des fonctions réelles, de classe C  , 
d'une variable
réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
· pour toute f  C  (R), (Xf )(x) = xf (x), (Df )(x) = f  (x), (Af )(x) = xf  
(x),
· pour tout nombre réel t et pour toute f  C  (R), (t f )(x) = f (et x).
1. Vérifier que la valeur en t = 0 de la dérivée de la fonction t 7 (t f )(x) 
est égale à (Af )(x).
On va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la 
formule
exp(tA) = t .
2. Vérifier que, si f est un polynôme, la série

X tn

n!
n>0

(An f )(x) est convergente et de somme

(t f )(x).
3. Montrer que, pour tout entier n > 0, on a D n X = XD n + nDn-1 .
4. Montrer que, pour tout entier n > 0, il existe des nombres réels positifs 
µn,k , k = 1, . . . , n,
tels que An =

n
X

µn,k X k D k , et exprimer µn,k en fonction des µn-1,p , p = 1, . . . , n - 1.

k=1

Préciser les valeurs de µn,1 et µn,n .

1

5. On désigne par f un polynôme d'une variable réelle. Démontrer la relation
Ñ

t, x  R f (et x) = f (x) +

X

X tn

n!
n>k

k>1

é

xk f (k)(x) .

µn,k

6. Étant donnéX
une suite de
Xnombres réels ak , k  N, comparer les rayons de convergence
des séries entières
ak xk et
kak xk .
k>0

k>0

7. On se donne maintenant une fonction développable en série entière f (x) =

X hk

k>0

R - |x|, et, si |h| < R - |x|, on a X hk k>0

k!

ak xk de

k>0

rayon de convergence R > 0. On admettra la propriété suivante :
(P) si |x| < R, la série entière en h : X f (k)(x) a un rayon de convergence au moins égal à k! f (k) (x) = f (x + h). 7.a) Vérifier que, si |x| < R, il existe un réel x > 0 tel que
|t| < x  |(et - 1)x| < R - |x| . 7.b) Démontrer l'existence de nombres réels n,k , n, k  N , indépendants de f et tels que l'on ait Ñ x ] - R, R[ , f (et x) = f (x) + t ] - x , x [ , X k>1

X tn

n!
n>1

é

n,k

xk f (k) (x) .

7.c) Vérifier que
n,k =

(

si k 6 n
si k > n .

µn,k
0

[On pourra utiliser le résultat de la question 5.]
7.d) Montrer que, pour 1 6 k 6 n, on a n,k 6 2n
7.e) On pose Zn,k =

n!
.
(k - 1)!

tn
n,k xk f (k) (x). Indiquer deux réels  > 0 et  > 0 tels que
n!
Ñ

|x| <  , |t| < X k>1

7.f ) Montrer que, si |x| <  et |t| < , la série (t f )(x). 2 é X |Zn,k | < + . n>1

X tn

n!
n>0

(An f )(x) est convergente et de somme

Deuxième partie
Dans cette partie, on désigne par F l'espace vectoriel des fonctions f réelles, 
d'une variable
réelle, continues et telles que, pour tout entier k > 0, la fonction x 7 xk f 
(x) soit bornée.
8. Soit f une fonction de F. Montrer que, pour tout entier k > 0, la fonction x 
7 xk f (x)
est intégrable sur R.
On posera mk (f ) =

Z

xk f (x)dx.

R

9. Soient f et g deux fonctions de F.
9.a) Montrer que, pour tout réel x, la fonction y 7 f (x - y)g(y) est 
intégrable sur R.
On notera f  g la fonction x 7

Z

f (x - y)g(y)dy.
R

9.b) Montrer que f  g appartient à F et écrire une formule de la forme
mk (f  g) =

k
X

k,p mp (f )mk-p (g) ,

p=0

où les k,p sont des coefficients à déterminer.
On admettra la commutativité et l'associativité de l'opération (f, g) 7 f  g.
Dans la suite du problème, on désigne par F0 l'ensemble des fonctions f de F 
qui sont
positives et telles que m0 (f ) = 1 et m1 (f ) = 0.
10. Étant donné des fonctions f1 , . . . , fn de F0 , calculer m0 (f1  . . .  
fn ) et m1 (f1  . . .  fn )
puis exprimer m2 (f1  . . .  fn ) en fonction des m2 (fi ), i = 1, . . . , n.
Pour tout réel a > 0, on désigne par Ta l'endomorphisme de F défini par (Ta f 
)(x) = af (ax).
11. Calculer mk (Ta f ).
Dans la suite du problème on désigne par fi , i = 1, 2, . . . , des fonctions 
de F0 , et, pour tout
n, on pose Fn = f1  . . .  fn . On suppose que tous les m2 (fi ) sont majorés 
par une même
constante C.
12.a) Montrer que, pour tout réel  > 0, les deux intégrales

Z -

Z +

(Tn Fn )(x)dx tendent vers 0 lorsque n  +.

-

3

(Tn Fn )(x)dx et

Z

12.b) Étant donné une fonction h continue bornée sur R, étudier le comportement 
de
h(x)(Tn Fn )(x)dx lorsque n  +.

R

[On pourra considérer d'abord le cas où h(0) = 0.]
13.a) Établir une inégalité entre m4 (f ) et m2 (f )2 lorsque f  F0 .
13.b) Démontrer la formule, pour n > 2,
m4 (Fn ) =

X

m4 (fi ) + 6

16i6n

X

m2 (fi )m2 (fj ) .

16i 0,
X Z +

(Tn Fn )(x)dx < + . n>1 

4